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[这个贴子最后由愚工688在 2013/08/22 10:56am 第 1 次编辑]
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揭开《歌德巴赫猜想》的秘密——大偶数分成两个素数的分法规律与分法数量的计算
任意一个大于5的偶数M，都能分成两个素数吗？这个问题的证明即是著名的《歌德巴赫猜想》。
一些数学家认为：大偶数分成两个素数的情况是很复杂的，因而现有的数学方法不能够解答《歌德巴赫猜想》。
欲揭开《歌德巴赫猜想》的秘密，对于任意一个大偶数，必须要弄清楚什么条件时偶数能够分成两个素数，偶数分成两个素数的分法数量有什么规律。
把偶数M看成2A，则偶数2A所分成的两个整数可记作A±x，而研究x在可取值的范围[0,A-3]中,什么情况下能够使A±x同时成为素数是并不复杂的。
1. 偶数分成两个素数A-x与A+x的条件与分法数目S(m)
依据Eratosthenes筛法（简称埃氏筛法）——x不能被≤√x的所有素数整除即为素数的原理，可以用≤√x的所有素数来判断小于x的其他整数，就是用小于√(M-2)的所有素数2，3，…，r （r为其中最大的素数，下均同）来判断A-x 与 A+x 是否都是素数，得到如下2个条件：
条件a：A-x与A+x同时不能够被≤r的所有素数整除时，两个数都是素数；
条件b：A+x不能够被≤r的这些素数整除，而A-x能被其中某素数整除但商为1，两个数也都是素数。
若把偶数M的符合条件a的x值在区间[0，A-3]个数记为S1(m)，符合条件b的x值的个数记为S2(m)，由上述的两个条件，即可得到偶数M分成两个素数的全部分法数量S(m)，有
S(m)=S1(m)+S2(m) {式1}
2. 符合条件a的x值与偶数的半值A之间的对应关系
在自然数列中，除以素数2，3，…，r时的余数分别以该素数值为周期循环变化，而能够被这些素数整除的自然数分别占1/2，1/3，…，1/r。很明显，小素数在筛除非素数时作用比较大些。
依据除以素数2，3时的余数不同，把自然数分为下面六组，来观察A与x之间的对应关系：
零组：0，6， 12，18，24, 30，36，42，48，54，…
一组：1，7， 13，19，25, 31，37，43，49，55，…
二组：2，8， 14，20，26, 32，38，44，50，56，…
三组：3，9， 15，21，27, 33，39，45，51，57，…
四组：4，10，16，22，28, 34，40，46，52，58，…
五组：5，11，17，23，29, 35，41，47，53，59，…
2.1. 把偶数2A分成两个不能被3整除的奇数时的全部x值的取值区间与A的对应关系：
若A能够被3整除，那么A是偶数时x 对应于一组和五组；A是奇数时x 对应于二组和四组的。
若A不能够被3整除，那么A是偶数（属于二组或四组）时x 对应于三组；A是奇数（属于一组或五组）时则x 对应于零组。
2.2. 使偶数分成两个符合条件a的素数的x值必然处于其中的对应组的取值范围之中。
例如：偶数76，88，100，112，124，它们的A均属于二组，而分为两个符合条件a素数的x值均来自三组（括号内系符合条件b的x值）。
A= 38 ,x= : 9 , 15 , 21 ,( 33 )，( 35 )，
A= 44 ,x= : 3 , 15 , 27 ,( 39 )，
A= 50 ,x= : 3 , 9 , 21 , 33 , 39 ,( 47 )，
A= 56 ,x= : 3 , 15 , 27 , 33 , 45 ,( 51 )，( 53 )，
A= 62 ,x= : 9 , 21 , 39 , 45 ,( 51 )，
而偶数80，92，104，116，它们的半值A均属于四组，而分为两个符合条件a的素数A±x 的x值也同样均来自三组。
A= 40 ,x= : 3 , 21 , 27 ,( 33 )，
A= 46 ,x= : 15 , 27 , 33 ,( 43 )，
A= 52 ,x= : 9 , 15 , 21 ,( 45 )，( 49 )，
A= 58 ,x= : 15 , 21 , 39 , 45 ,( 51 )，( 55 )，
3. x值数量的概率计算
3.1 运用到的数学定理
【相互独立事件同时发生的概率】两个相互独立的事件同时发生的事件记作A·B事件，则A·B事件的概率等于事A与事件B发生的概率的积，即P（A·B）=P(A)·P(B)。
一般地，如果事件A1、A2、…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，
即 P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·P(An). -摘自《高中数理化概念公式定理手册》189页 上海远东出版社 ISBN 7-80613-324-0. 98年12月第一版
那么上面所分的六组数列的数在除以2、3外的其它素数时的余数情况如何呢？我们取三组为例作观察：
三组：3，9，15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81, 87, 93，…
容易发现，这组的数除以2和3外的其它素数5，…，r 时得到的余数仍然以该素数值为周期循环变化，这说明：自然数除以不同的素数时所得到的余数的分布是相互独立的。
3.2 x值数量的概率计算
由于符合条件a的x值，就是 除以素数2，3，…，r时余数同时满足不等于I2、I3及(3－I3)、…、Ir及(r -Ir)的数，（I2,I3,…，Ir系A除以素数2，3，…，r时的余数。）
其分布概率P(m)由独立事件的乘法原理的推广，可得：
P(m)=P(2·3·…·r)
=P(2)·P(3)·…·P(r) {式2}
因此，在 [0，A-3]中，这样的 x值的概率计算值Sp(m)，有：
(A-2)×P(m)= (A-2)P(2·3·…·n·…·r)
=(A-2)×P(2)×P(3)×…×P(n)×…×P(r)
=(A-2)×(1/2)×f(3)×…×f(n)×…×f(r) {式3}
式中：3≤ n≤r；n是素数。f(n)=(n-1)/n，[In=0时]；或f(n)=(n-2)/n ，[In>0时] 。In系A除以n时的余数。
例如：A除以5时的余数是1，则x除以5时的余数不等于1与（5-1=）4的概率是3/5，这在自然数列 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，……中间，或在上面自然数所分成的6个组中间的任一个组中，都是一样的。
A除以5时的余数是0，则x除以5时的余数不等于0的概率是4/5，这在自然数列 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，……中间，或在上面自然数所分成的6个组中间的任一个组中，也是一样的。
而A除以其它的素数7，11，13等的情况是类似的。很显然，除以的素数越大，被筛除掉的数的概率越低。故总的概率 P(m)的降低的速率越来越慢。
上面所举例的偶数76-124的计算示例如下：
M= 76 S(m)= 5 S1(m)= 3 Sp(m)= 2.57 E(m)=-.14 K(m)= 1 r= 7
* Sp( 76)=[( 76/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)= 2.57
M= 88 S(m)= 4 S1(m)= 3 Sp(m)= 3 E(m)= 0 K(m)= 1 r= 7
* Sp( 88)=[( 88/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)= 3
M= 100 S(m)= 6 S1(m)= 5 Sp(m)= 4.57 E(m)=-.09 K(m)= 1.33 r= 7
* Sp( 100)=[( 100/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 4/ 5)*( 5/ 7)= 4.57
M= 112 S(m)= 7 S1(m)= 5 Sp(m)= 4.63 E(m)=-.07 K(m)= 1.2 r= 7
* Sp( 112)=[( 112/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 6/ 7)= 4.63
M= 124 S(m)= 5 S1(m)= 4 Sp(m)= 3.51 E(m)=-.12 K(m)= 1 r= 11
* Sp( 124)=[( 124/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)= 3.51
3.3 概率计算值Sp(m)的相对误差δ(m)
{式3}我们得到偶数分成符合条件a的二个素数的x值的概率计算值Sp(m)，其与实际值S1(m)不是完全相等的，存在一定的偏差。对于这个偏差我们进行下面的分析讨论。
为表达出Sp(m)值与真值S1(m)之间的关系，引用相对误差δ(m)来表达：
δ(m)=[Sp(m) -S1(m)] / S1(m) {式4}
即有： S1(m)=Sp(m)/ [1+δ(m)] {式5}
{式5}表达了实际分法数值S1(m)与概率计算值Sp(m)的相互关系。
我编写了一个简单的Basic程序，即可轻易地得到偶数M分成两个素数的分法数据S1(m)、S(m)，概率计算值Sp(m)及其相对误差δ(m)。
（在Basic程序中，希腊字母不便表示，故用E(m)表示δ(m)；计算值Sp(m)与E(m)均为四舍五入后的近似值，用了等号。下面不再另注）。
3.3.1 相对误差 E(m)分区分布实录(6--50000)
E(m): <-.2 , [-.2~-.1) , [-.1~0) , [0~.1] , (0.1~.2] , (.2~.3] , >.3
--------------------------------------------------------------------------------
[ 6 , 1000 ] 20 90 201 125 39 13 10
[ 6 , 10000 ] 24 288 2731 1755 169 20 11
[ 10002 , 20000 ] 0 8 2568 2404 20 0 0
[ 20002 , 30000 ] 0 0 1538 3445 17 0 0
[ 30002 , 40000 ] 0 0 1243 3742 15 0 0
[ 40002 , 50000 ] 0 0 853 4126 21 0 0
上面的每个相对误差的分布数据，与事实的情况密切关联，具有可追溯性，可追溯到具体的这些偶数，不存在一个虚假的数字。
如：[ 6 , 10000 ]行的11，表示该区间内相对误差 E(m)>.3 的11个偶数如下：
M= 12 S(m)= 1 S1(m)= 1 Sp(m)= 1.33 E(m)= .333 K= 2 r= 3
M= 20 S(m)= 2 S1(m)= 1 Sp(m)= 1.33 E(m)= .333 K= 1 r= 3
M= 32 S(m)= 2 S1(m)= 1 Sp(m)= 1.4 E(m)= .4 K= 1 r= 5
M= 68 S(m)= 2 S1(m)= 1 Sp(m)= 2.29 E(m)= 1.286 K= 1 r= 7
M= 98 S(m)= 3 S1(m)= 3 Sp(m)= 4.03 E(m)= .343 K= 1.2 r= 7
M= 138 S(m)= 8 S1(m)= 6 Sp(m)= 7.83 E(m)= .305 K= 2 r= 11
M= 152 S(m)= 4 S1(m)= 3 Sp(m)= 4.32 E(m)= .442 K= 1 r= 11
M= 284 S(m)= 8 S1(m)= 5 Sp(m)= 6.92 E(m)= .385 K= 1 r= 13
M= 362 S(m)= 8 S1(m)= 6 Sp(m)= 7.81 E(m)= .302 K= 1 r= 17
M= 632 S(m)= 10 S1(m)= 8 Sp(m)= 11.19 E(m)= .399 K= 1 r= 23
M= 1412 S(m)= 18 S1(m)= 15 Sp(m)= 20.67 E(m)= .378 K= 1 r= 37
而每一个偶数的分法数据，表示了这个偶数的可以分成两个素数的全部分法的事实。
例如 ：M= 632 ，有10种不同的分法，其中符合条件a的分法有：S1(m)= 8 种：
283 + 349 ， 223 + 409 ， 211 + 421 ， 199 + 433 ，193 + 439 ，109 + 523 ， 61 + 571 ， 31 + 601 ，[ 19 + 613 ] ，[ 13 + 619 ]
M= 632 ， S(m)= 10 ，S1(m)= 8 ，Sp(m)= 11.19 ， E(m)= .4 ，K(m)= 1 ， r= 23
概率计算： Sp( 632)=[( 632/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)≈11.19
相对误差： E(m)=（11.19-8）/8≈0.3987≈0.40
3.3.2 计算出的相对误差E(m)的分布情况：
在[ 6 , 1000 ]中， 分布在±0.10 范围内的占65.46%，在±0.20 范围内的占91.37%；
在[ 6 , 10000 ]中， 分布在±0.10 范围内的占89.76%，在±0.20 范围内的占98.90%；
在[ 10002 , 20000 ]中，分布在±0.10 范围内的占99.44%，在±0.20 范围内的占100%；
在[ 20002 , 30000 ]中，分布在±0.10 范围内的占99.66%，在±0.20 范围内的占100%；
在[ 30002 , 40000 ]中，分布在±0.10 范围内的占99.70%，在±0.20 范围内的占100%；
3.3.3 对各区间的偶数的相对误差E(m)作统计计算，结果如下：
M=[ 6 , 10000 ] , R= 97 , n= 4998 , E1=-.01 , E2= .07 , E(min)=-.5 , E(max)= 1.286
M=[ 10002 , 20000 ] , R= 139 , n= 5000 , E1= 0 , E2= .04 , E(min)=-.137 , E(max)= .141
M=[ 20002 , 30000 ] , R= 173 , n= 5000 , E1= .01 , E2= .03 , E(min)=-.088 , E(max)= .151
M=[ 30002 , 40000 ] , R= 199 , n= 5000 , E1= .02 , E2= .03 , E(min)=-.087 , E(max)= .123
M=[ 40002 , 50000 ] , R= 223 , n= 5000 , E1= .02 , E2= .03 , E(min)=-.074 , E(max)= .125
（ E1- 平均误差；E2- 标准偏差，其通用符号为σx ，由于在Qbasic程序中不会打罗马字母符号，只能这样表示了，抱歉！）
上述的对5万内的全部偶数的概率计算的相对误差的数据的统计结果说明：
根据概率原理对大偶数分成符合条件a的二个素数的x值的数量的概率计算的可靠性是有保障的。
3.4. 偶数的素因子系数K(m) 的来历
在{式3}中，偶数含有各素数因子时的计算上的差异：
含有3时， f(3)=(3-1)/3=2/3， 不含时， f(3)=(3-2)/3=1/3；
含有5时， f(5)=(5-1)/5=4/5， 不含时， f(5)=(5-2)/5=3/5；
……
以不含素因子n时作为基准，则两者之间比的系数为K(n),有：
K(3)=(3-1)/(3-2)=2 ， 在偶数中其发生频率为1/3;
K(5)=(5-1)/(5-2)=4/3 ，在偶数中其发生频率为1/5;
……
K(r)=(r-1)/(r-2)， 在偶数中,其发生频率为1/r;
对任意一个给定偶数M，假定A除以≤ r的全部素数时的余数都不为零，此时x值的发生概率为 P(m)min，则有
P(m)min =1/2 * 1/3 * …*(r-2)/r； {式6}
其与该偶数的满足条件a的x值的分布概率P(m)之间，有 P(m)=K(m)* P(m)min； {式7}
式中，K(m)为该偶数的素因子系数，K(m)= kn1* kn2 *…；这里kn1=(n1-1)/(n1-2)，kn2=(n2-1)/(n2-2)，…；3 ≤ n1，n2，…,≤r； n1，n2等均为A的素因子。
因此，{式3 }的Sp(m)又可表达为：Sp(m)=(A-2)*K(m)*P(m)min ； {式8}
在{式8}中：
A-2的值随偶数增大而逐渐变大；
P(m)min的值随偶数增大而逐区缓慢变小，在对应的r不变的偶数区间里面为常数；
而K(m)在每三个连续偶数里，就有一个的值≥2。因此K(m)是Sp(m)值变化的主要因素，也是表达偶数实际可以分成两个素数的分法数量的变化的一个重要参数。
4. 分法数据的折线图
把一个区间的连续偶数的分法数据在直角坐标系图上的对应点分别链接起来，可以得到实际分法数据的折线图。可以看到，即使在小偶数时，相对误差E(m)稍微大的情况下，Sp(m)与S1(m)的折线也比较相近，S1(m)的变化与K(m)的变化同步。以图为证。（受到显示屏显示度的限制，2000以上偶数的折线图就不太好显示了。）
数据说明：
S(m) --M 分成两个素数的全部分法数(为了防止干扰S1(m)折线，图上没有显示）；
S1(m)--M分成两个符合条件a的“不能被小于或等于根号（M-2）的全部素数整除”的素数的分法数；
Sp(m)--S1(m)的概率计算值；
E(m) --Sp(m)与S1(m)之间的相对误差；E(m) =[Sp(m)－S1(m)]/ S1(m)。
K(m)--素数因子系数 ，由M所含的奇素数因子所决定。其体现了偶数M分成两个素数的分法数值的变化的主要规律。
例图见附件
5. 分法数量变化的主要特征系数——K(m)
在折线图上可以看到，含素因子3的偶数的分法数为折线的局部峰值。
这个特点会有例外吗？
从K(m)的计算式可知道，有例外，但这样的偶数是比较大的，且其分布是很稀疏的。
例1：偶数 2×5×7×11×13×17＝170170，
它的K(m)=(4/3)(6/5)(10/9)(12/11)(16/15)=2.07，
取偶数170168-170172的分法数据作比较：
M= 170168 ，S(m)= 929 ，S1(m)= 921 ，Sp(m)= 979.18 ，E(m)= .06 ，K(m)= 1.02
M= 170170 ，S(m)= 1902 ，S1(m)= 1882 ，Sp(m)= 1994.2 ，E(m)= .06 ，K(m)= 2.07
M= 170172 ，S(m)= 1937 ，S1(m)= 1920 ，Sp(m)= 2011.84 ，E(m)= .05 ，K(m)= 2.09
显然，170170与邻近它的含素因子3的偶数的分法数量同处于高位。
例2: 偶数 170170×19=3233230，它的K(m)=2.19；它的分法数远多于邻近的含因子3 的偶数。
M= 3233230 S(m)= 24275 S1(m)= 24225 Sp(m)= 26052.07 E(m)= .08 K(m)= 2.19
M= 3233232 S(m)= 21827 S1(m)= 21779 Sp(m)= 23787.8 E(m)= .09 K(m)= 2
M= 3233234 S(m)= 10983 S1(m)= 10955 Sp(m)= 11893.91 E(m)= .09 K(m)= 1
M= 3233238 S(m)= 22775 S1(m)= 22713 Sp(m)= 24608.13 E(m)= .08 K(m)= 2.07
大偶数3233238 的素数对的示例摘录:
1616617 + 1616621 ， 1616611 + 1616627 ，…… [ 11 + 3233227 ] ，[ 7 + 3233231 ]
再如 3233230×2，3233230×4，3233230×8 ……这一系列偶数的素因子系数K(m)的值都是2.19，它们必然比相邻近的含素因子3的偶数的分法数量多一些。
例3：对于偶数 2×3×5×7×11×13×17×19＝9699690 ，它的K(m)= 4.38，即它的分法数量是与它邻近的偶数4倍以上，它是1000万以下偶数中分法数量最多的偶数。其分法数量肯定多于是它3倍多并且K(m)的值为2.19的偶数（3233230×10 =）32332300，这是容易验证的。
M= 9699690 ，S(m)= 124180 ，S1(m)= 124031 ，Sp(m)= 136157.51 ，E(m)= .1 ，K(m)= 4.38 ，r= 3109
因此可以得到一个事实：偶数分成两个素数的分法数量的变化主要是由偶数的素因子系数K(m)所决定的。
6. 对于《歌德巴赫猜想》的结论
由于大偶数分成符合条件a的二个素数的x值的数量的概率计算的可靠性是有保障的，而从概率计算式子{式10}中，即可分析出《歌德巴赫猜想》是必然成立的。
从{式8}：Sp(m)=(A-2)*K(m)*P(m)min ；
由{式5}、{式8}，可得出：
S1(m)= Sp(m)/ [1+δ(m)] = (A-2)*K(m)*P(m)min /[1+δ(m)]； {式9}
把{式9}代入{式1}，可得
S(m) = (A-2)*K(m)*P(m)min /[1+δ(m)]+S2(m)
=S2(m)+(A-2)*K(m)*(1/2)*(1/3)*…*[(n-2)/n]*…*[(r-2)/r] /[1+(δm)] 【P(m)min 的展开】
= (A-2)*K(m)*F(m)*(1/2)*(1/3)*…*[(n1-2)/n1]*…*[(r-2)/r] /[1+(δm)] + S2(m) 【引入小于r 的非素数的全部奇数因子与F(m)相抵消】
= (A-2)*K(m)*F(m)*(1/2)*(1/r) /[1+δ(m)] +S2(m) 【约分】
= [(A-2)/(2r)]*K(m)*{F(m)/[1+δ(m)]} +S2(m)/K
= [(M-4)/(4r )]*K(m)*{F(m)/[1+δ(m)]}+S2(m)
即 S(m) = [(M-4)/(4r )]*K(m)*{F(m)/[1+δ(m)]}+S2(m) {式10}
式中：3≤n1≤r 、n1为奇数。
合数因子系数F(m)=f(m1)*f(m2)*…≥1；-注1
这里 m1、m2、…为小于r的全部奇合数，f(m1)=m1/(m1-2)，f(m2)=m2/(m2-2) ，
在{式10}中：
[(M-4)/(4r)]=[M/(4r)－1/r]，在M→大时，r 也逐步趋大，1/r 很快的接近0，对于分法数来讲可以忽略，故 [M/(4r)－1/r]≈M/(4r)≥√M/4 ；
这个因子表达了大偶数分成两个素数的分法数的低位值多于√M/4 的一个基本的特征；
因子K(m)≥1，而每3个偶数中必有一个偶数的K(m)≥2，它体现了S1(m)值变化的主要特征——周期性的脉动式突变，其值决定突变峰值的高度。
对F(m)/[1+δ(m)] 的比值分析如下：
合数因子系数F(m)是与小于r的全部奇合数有关。随着偶数M的增大，r的逐步变大，F(m)值将越来越大；
而分母[1+δ(m)]的值如前面分析过的那样，与1相差不多；
因此大偶数的该比值大于1是毫无疑问的，其比值决定了邻近偶数M的偶数的低位分法数量在√M/4 上面的位置。
从下面- 注1的常数——合数因子系数F(m)值中可以得知：
5万以上的偶数的分成两个素数的低位分法数量多于√50000/4 （=55.9） ，有5倍以上的数量（6.3/1.2=5.25），即在293种以上；
50万以上的任意偶数的分成两个素数的低位分法数量远远多于√500000/4 （=176.8 ），有10倍以上的数量（13.4/1.2=11.2）,即分法数量在1980以上，这是容易验证的 (只要你能够找到一个偶数的分法数少于上面所说的数量,即可否定我的观点)。
对于S2(m)：有S2(m)≥0。由于其相对于S1(m)很小，故可以忽略，即用S1(m)来近似代替S(m)时，其作用能减少Sp(m)的正误差，不影响分法数S(m)的周期性变化的趋势。
注1：偶数所对应的合数因子系数F(m)值是很容易得到的。下面为偶数 52——1515362 的对应F(m)值的摘录：
52 -- 122 r= 7 F(m) = 1
124 -- 170 r= 11 F(m) = 1.286 [=（9/7）]
172 -- 290 r= 13 F(m) = 1.286
292 -- 362 r= 17 F(m) = 1.484 [=（9/7)（15/13）]
364 -- 530 r= 19 F(m) = 1.484
532 -- 842 r= 23 F(m) = 1.64 [=（9/7)（15/13）(21/19)]
844 -- 962 r= 29 F(m) = 1.925
……
51532 -- 52442 r= 227 F(m) = 6.3
……
212524 -- 214370 r= 461 F(m) = 10.026
……
491404 -- 502682 r= 701 F(m) = 13.4074
……
1510444 -- 1515362 r= 1229 F(m) = 20.046
7.结束语
在《歌德巴赫猜想》问题上没有专家, 我只相信“实践是检验真理的唯一标准”。
把大偶数2A可分成两个素数A±x的x 的数量，在自然数列中的分布，只是一个概率问题。还有什么数学方法能够比概率的乘法定理的计算更贴近实际的分法数量，更能够表现出偶数分成两个素数的全部数量的变化规律？
在《歌德巴赫猜想》问题上面，当前数学界的主流观点——现有的数学理论不能解答的观点，明显与事实——用概率的乘法定理的计算结果与实际的分法数量接近——有所矛盾，该怎么解释呢？
在《歌德巴赫猜想》问题上面，“实践是检验真理的唯一标准”应该没有问题的！也不应该出现问题。
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发表于 2013-8-22 10:47
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