[原创]偶数所分成的素对数量的下限计算式

愚工688

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偶数所分成的素对数量的下限计算式
   任意一个大于5的偶数M分成两个整数的形式均可以用A±x表示。 依据Eratosthenes筛法（简称埃氏筛法）——n不能被≤√n的所有素数整除即为素数的原理，用小于√(M-2)的所有素数2，3，…，r （r为其中最大的素数，下均同）来判断A-x 与 A+x 是否都是素数，得到如下2个条件：
条件a：A-x与A+x同时不能够被≤r的所有素数整除时，两个数都是素数；
条件b：A+x不能够被≤r的这些素数整除，而A-x能被其中某素数整除但商为1，两个数也都是素数。
显然，在x值的取值区间[0，A-3]中，若把符合条件a的x值的个数记为S1(m)，符合条件b的x值的个数记为S2(m)，由上述的两个条件，即可得到偶数M分成两个素数的全部分法数量S(m)，有
S(m)=S1(m)+S2(m)  {式1}  
条件a 即可看成变量x符合某种由A的数值所决定的数，其在区间[0，A-3] 中的分布规律，可作为一个概率事件来研究。
把A除以小于根号(M-2)的所有素数2，3，…，n，…，r时的余数分别记作I2,I3,…,In,…，Ir，那么当x除以这些素数时的余数能同时满足不等于I2、I3及(3－I3)、…、In及(n－In)、…、Ir及(r -Ir)时，x使A-x与A+x 同时满足条件1而成为素数，而这样的x值在 [0，A-3]中的发生概率,依据概率的独立事件性质，可用P(m)来表达,有
P(m)=P(2·3·…·n·…·r)
=P(2)*P(3)*…*P(n)*…*P(r)
=(1/2)*f(3)*…*f(n)*…*f(r)；          {式2}
式中：3≤ n≤r；f(n)=(n-1)/n, [In=0时]；或f(n)=(n-2)/n,  [In>0时]。下同。
因此符合条件a的x值在 [0，A-3]中的数量S1(m)，可通过概率计算近似得出。S1(m)的概率计算值Sp(m)，有
Sp(m)=(A-2)×P(m)= (A-2)×(1/2)×f(3)×…×f(n)×…×f(r)；     {式3}
由于符合条件b的x值不具有计算性，S2(m)≥0，对于大偶数来说，S2(m)在＞0时全部素对中所占的比例也很小，因而可以忽略其独立性，把它归并于S1(m)，这样就有S(m)=S1(m)了。
因此，概率计算Sp(m)的对象也就是S(m)，其与实际素对的相对误差，有
δ(m)= [Sp(m)- S(m)]/ S(m)      {式4}
就是 S(m)=Sp(m)/ [1+δ(m)]    {式5}——Sp(m)为S(m)的概率计算值，δ(m)为相对误差(下面用E0(m)表示)。
对任意一个给定偶数M，假定A除以≤ r的全部素数时的余数都不为零，此时满足于成为素对的x值在 [0，A-3] 中的发生概率为  P(m)min，则有
P(m)min =1/2 * 1/3 * …*(n-2)/n * …*(r-2)/r；           {式6}
其与该偶数的满足成为素对的x值实际的分布概率P(m)之间有：
P(m)=K(m)* P(m)min；                     {式7}
  式中，K(m)为该偶数的素因子系数，K(m)= kn1* kn2 *…；
  这里的kn1=(n1-1)/(n1-2)，kn2=(n2-1)/(n2-2)，…；3 ≤ n1，n2，…,≤r； n1，n2等均为A的素因子。
把式7代入式5，则有
S(m)=(A-2)*K(m)* P(m)min/[1+E0(m)] ；{式8}
再对{式8}的连乘式子中的P(m)min里面引进小于最大素数r的全部奇合数，使计算式子能够约分而得到化简:
即有  S(m)=(A-2)*K(m)*F(m)*(1/2)(1/3)(3/5)(5/7)(7/9)(9/11)*…*[(r-4)/(r-2)][(r-2)/r]/[1+E0(m)]
           =[(M-4)/(4r)]*K(m)*F(m)/[1+E0(m)]  ,{式9}
式中，合数因子系数F(m)=f(m1)*f(m2)*…≥1；
这里 m1、m2、…为小于r的全部奇合数，f(m1)=m1/(m1-2)，f(m2)=m2/(m2-2) ，……
于是{式1}可以如下表示：
S(m) = [(M-4)/(4r)]*K(m)*{F(m)/[1+E0(m)]}；{式10}
    在{式10}中，(M-4)/(4r)＞≈√M/4;
因此{式10}可以化为更加简单的形式:
S(m) ≈ (√M/4)*K(m)*{F(m)/[1+E0(m)]};  {式11}
  在这个式子中,唯一不能计算的项是相对误差E0(m),但是相对误差E0(m)的分布又是有规律的，其分布符合正态分布的特征。（注：正态分布特征另述）
实际的统计计算数据举例：
M=[ 6 , 10000 ]        n= 4998  μ=-.07   σ= .07   E0(min)=-.625  E0(max)= .3429
M=[ 10002 , 20000 ]    n= 5000  μ= 0     σ= .03   E0(min)=-.134  E0(max)= .136
M=[ 20002 , 30000 ]    n= 5000  μ= .01   σ= .03   E0(min)=-.086  E0(max)= .1474
M=[ 40002 , 50000 ]    n= 5000  μ= .02   σ= .03   E0(min)=-.074  E0(max)= .125
因此虽然在最小的区间内的误差发布比较离散，虽然有不能计算的相对误差E0(m)存在,由于K(m)≥1,F(m) ≥1且是个单调增大的系数,故从11式子可以知道,稍微大一些的偶数的S(m)≥√M/4是必然的,于是通过变动系数，可以得出：
1. 最简单的下限函数式子：S(m)≥0.22√M；（M≥6）
它的图形是一条随偶数M的增大而逐渐增大的曲线；
而实际上偶数的素对数量的变化图形，并不是曲线，而是呈锯齿形变化，因此，S(m)≥0.22√M的图形并不能贴切地反映实际偶数的素对数量的变化，因此有必要引入式11中另一个参数：K(m)，同时适当变更系数为0.185，于是有：
2.能够反映偶数实际素对数量的变化图形的下限函数式子：S(m)≥0.185*K(m)*√M；（M≥16）
偶数的素因子系数K(m)显示了偶数的素对数量的图形呈现锯齿状变化特征。
偶数的素对数量S(m)，以及S1(m)，概率计算值Sp(m)，与素因子系数K(m)的折线图例见附件图。
3.与实际素对比较接近的下限函数式子：S(m)≥0.185*K(m)*F(m)*√M；（M≥16）
式中，合数因子系数F(m)=f(m1)*f(m2)*…； F(m)是一个区域常数，它随着小于√(M-2)的最大素数r的增大,小于r的奇合数逐渐增多而逐步的单调增大的系数。它表示了素对的下限与s=√M/4图形在垂直方向的大致距离(倍数)。
F(m)示例：
M   ≤ 122                               F(m) =  1
124 -- 170                   r=  11      F(m) =  1.2857
364 -- 530                   r=  19      F(m) =  1.4835
964 -- 1370                  r=  31      F(m) =  1.9249
5044 -- 5330                 r=  71      F(m) =  3.07
10204 -- 10610               r=  101     F(m) =  3.7914
26572 -- 27890               r=  163     F(m) =  5.0736
97972 -- 100490              r=  313     F(m) =  7.7035
196252 -- 201602             r=  443     F(m) =  9.7623
491404 -- 502682             r=  701     F(m) =  13.4074

附注:正态分布曲线性质（摘录自百度资料）
1.当x<；μ时，曲线上升；当x>；μ时，曲线下降。当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线。
2.正态曲线关于直线x=μ对称。
3.σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡。
4.在正态曲线下方和x轴上方范围内区域面积为1。
3σ原则：
P（μ-σ<X≤μ+σ）=68.3%
P（μ-2σ<X≤μ+2σ）=95.4%
P（μ-3σ<X≤μ+3σ）=99.7%
取M=[ 20002 , 30000 ]为样本，μ= .01 ，σ= .03，计算3σ原则情况：
3σ分布情况：
E0(m):         [-.08,-.05) [-.05~-.02) [-.02~.01) [.01~.04] (0.04~.07](.07~.10] >.10
-----------------------------------------------------------------------------------
[ 20002 , 22000 ]     82       284        418        183        30       3        0
[ 22002 , 24000 ]     106      330        378        152        27       5        2
[ 24002 , 26000 ]     70       315        396        178        31       10       0
[ 26002 , 28000 ]     68       246        411        210        55       9        1
[ 28002 , 30000 ]     50       260        444        199        43       4        0
-----------------------------------------------------------------------------------
[ 20002 , 30000 ]     376      1435       2047       922        186      31       3
于是有：P（μ-σ<X≤μ+σ）=2969，占比为：2969/5000=59.38%；
P（μ-2σ<X≤μ+2σ）=4590，占比为：4590/5000=91.8%；
P（μ-3σ<X≤μ+3σ）=4997，占比为：4997/5000=99.94%；
很显然，不仅方差σ比较小，计算的3σ也比较接近3σ原则要求。
结论：样本统计计算的区间[ 20002 , 30000 ] 里面偶数的相对误差分布符合正态分布的特征。

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愚工688

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对3式：S(m)≥0.185*K(m)*F(m)*√M ;（M≥16）的实际计算例子：
M= 988  ， S(m)= 23  ， K(m)= 1.16
S(m)≥0.185×1.16×1.9249×√988=　12.98

M= 990    ，S(m)= 52  ，K(m)= 2.96  
S(m)≥0.185×2.96×1.9249×√990= 33.17　
M= 992 ， S(m)= 13  ， K(m)= 1.03
S(m)≥0.185×1.03×1.9249×√992=　11.55
M= 5002   ， S(m)= 56  ，  K(m)= 1.04
S(m)≥0.185×1.04×3.07×√5002=　41.77
  
M= 5004  ，  S(m)= 121  ，  K(m)= 2
S(m)≥0.185×2×3.07×√5004= 80.35
  
M= 5006   ， S(m)= 63  ，  K(m)= 1   
S(m)≥0.185×1×3.07×√5006= 40.18
M= 500000  ，S(m)= 3052 ，  K(m)= 1.333  
S(m)≥0.185×1.333×13.4074×√500000=2337.93
M= 500002  ，S(m)= 2340 ， K(m)= 1.031  
S(m)≥0.185×1.031×13.4074×√500002= 1808.26
M= 500004  ，S(m)= 5261 ，  K(m)= 2.314  
S(m)≥0.185×2.314×13.4074×√500004= 4058.51
M= 500006  ，S(m)= 2483  ，  K(m)= 1.091
S(m)≥0.185×1.091×13.4074×√500006= 1913.50
由于小偶数的相对误差的分布相对比较离散，如果限定偶数从一定大小起，则可以得到与实际素对更接近的偶数M的哥德巴赫猜想的素对下界公式 Sxj(m)：
例如偶数M≥10000的哥德巴赫猜想的素对下界公式 Sxj(m)：
S(m) ≥ Sxj(m)=0.208√M*K(m)*F(m);
做一些大于一万的连续偶数的计算：
实际素对G(m)= S(m)——真值
97972 -- 100490   , r=  313 , F(m) =  7.7035
G(99980) = 801 ，K(m)= 1.3333
Sx(99980)=0.208√M*K(m)*F(m)=0.208*√99980*1.3333*7.7035≈675.52
G(99982) = 608 ，K(m)= 1.013
Sx(99982)=0.208√M*K(m)*F(m)==0.208*√99982*1.013*7.7035≈513.24
G(99984) = 1216 ，K(m)= 2.0328
Sx(99984)=0.208√M*K(m)*F(m)=0.208*√99984*2.0328*7.7035≈1029.94

G(99986) = 603 ，K(m)= 1.0909
Sx(99986)=0.208√M*K(m)*F(m)=0.208*√99984*1.0909*7.7035≈552.72

G(99988) = 736 ，K(m)= 1.1111
Sx(99988)=0.208√M*K(m)*F(m)=0.208*√99988*1.1111*7.7035≈562.96

G(99990) = 1855 ，K(m)= 2.7452
Sx(m)=0.208√M*K(m)*F(m)=0.208*√99990*2.7452*7.7035≈1390.92
计算结果与实际素对一样，具有锯齿形状的大小数值变化。

愚工688

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用概率的乘法定理计算偶数的素对数量的实例：
S( 50008 )= 454    Sp(m)= 454.6418 E0(m)= .0014   K= 1.2988
Sp( 50008 ) ≈ 0.5*( 50008 /2 )*( 3 -2 )/ 3 *( 5 -2 )/ 5 *( 7 -1 )/ 7 *…*( 223 -2 )/ 223  ≈ 454.6418
S( 50038 )= 356    Sp(m)= 354.8637 E0(m)=-.0032   K= 1.0132
Sp( 50038 ) ≈ 0.5*( 50038 /2 )*( 3 -2 )/ 3 *( 5 -2 )/ 5 *( 7 -2 )/ 7 *…*( 223 -2 )/ 223  ≈ 354.8637  
S( 50052 )= 725    Sp(m)= 725.3441 E0(m)= .0005   K= 2.0703
Sp( 50052 ) ≈ 0.5*( 50052 /2 )*( 3 -1 )/ 3 *( 5 -2 )/ 5 *( 7 -2 )/ 7 *…*( 223 -2 )/ 223  ≈ 725.3441
S( 50076 )= 773    Sp(m)= 772.0482 E0(m)=-.0012   K= 2.2026
S( 50080 )= 466    Sp(m)= 467.3936 E0(m)= .003    K= 1.3333
S( 50092 )= 421    Sp(m)= 420.755  E0(m)=-.0006   K= 1.2
S( 50190 )= 1124   Sp(m)= 1124.208 E0(m)= .0002   K= 3.2
S( 50200 )= 468    Sp(m)= 468.5136 E0(m)= .0011   K= 1.3333
S( 50204 )= 473    Sp(m)= 471.4612 E0(m)=-.0033   K= 1.3416
S( 50206 )= 382    Sp(m)= 383.3751 E0(m)= .0036   K= 1.0909
S( 50214 )= 702    Sp(m)= 702.9661 E0(m)= .0014   K= 2
S( 50220 )= 971    Sp(m)= 969.7249 E0(m)=-.0013   K= 2.7586
S( 50248 )= 389    Sp(m)= 390.8013 E0(m)= .0046   K= 1.1111
S( 50264 )= 361    Sp(m)= 361.339  E0(m)= .0009   K= 1.027
S( 50270 )= 519    Sp(m)= 521.2966 E0(m)= .0044   K= 1.4815

愚工688

S( 50076 )= 773    Sp(m)= 772.0482 E0(m)=-.0012   K= 2.2026
Sp( 50076 ) ≈ 0.5*( 50076 /2 -2)*( 3 -1 )/ 3 *( 5 -2 )/ 5 *( 7 -2 )/ 7 *…*( 223 -2 )/ 223  =  772.0482
S( 50080 )= 466    Sp(m)= 467.3936 E0(m)= .003    K= 1.3333
Sp( 50080 ) ≈ 0.5*( 50080 /2 -2)*( 3 -2 )/ 3 *( 5 -1 )/ 5 *( 7 -2 )/ 7 *…*( 223 -2 )/ 223  =  467.3936
S( 50092 )= 421    Sp(m)= 420.755  E0(m)=-.0006   K= 1.2
Sp( 50092 ) ≈ 0.5*( 50092 /2 -2)*( 3 -2 )/ 3 *( 5 -2 )/ 5 *( 7 -1 )/ 7 *…*( 223 -2 )/ 223  =  420.755
S( 50190 )= 1124   Sp(m)= 1124.208 E0(m)= .0002   K= 3.2
Sp( 50190 ) ≈ 0.5*( 50190 /2-2 )*( 3 -1 )/ 3 *( 5 -1 )/ 5 *( 7 -1 )/ 7 *( 11 -2 )/ 11 * …*( 223 -2 )/ 223  =  1124.208
素对A±x的例子：
A= 25095 ,x= : 22 , 58 , 124 , 142 , 152 , 206 , 244 , 248 , 254 , 296 , 314 , 328 , 362 , 484 , …，24862 ,( 24896 ),( 24898 ),( 24904 ),( 24928 ),( 24938 ),( 24956 ),( 24958 ),( 24982 ),( 24992 ),( 24998 ),( 25006 ),( 25016 ),( 25024 ),( 25028 ),( 25034 ),( 25036 ),( 25052 ),( 25058 ),( 25064 ),( 25082 ),