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[watermark] J•莫鲁卓合著，聂祖安翻译）。从这里可以看出，坎泊本人认为他已证明了猜测是正确的。
笔者尽管还没有看到过坎泊本人的证明，但从上述所引用的《图论的例和反例》一书中的话可以看出坎泊的证明是正确的。因为：㈠他的证明尽管是用的地图述语，但它实质上与从图论角度上进行证明是一样的，因为地图（平面图）的对偶图仍是一个平面图，给地图面上的着色与给其对偶图顶点的着色是一回事，上述引语中所说的道路，其顶点就是地图中的国家或区划，边就是两相邻国家或区划的公共边界线；㈡他的证明尽管仍是用的着色的办法，但他却用的是任意的图，而不是对某一个具体的图的着色，具有一般的意义；㈢他所用的交替着色的方法是正确的，体现了尽量少用颜色的要求，符合节约的原则；㈣他是在证明在待着色顶点V以外的顶点都已着上颜色时，特别是在V周围有五个顶点，且用去了四种颜色的情况下，用自已创造的颜色交换法，从与V邻接的顶点中空出已用过的颜色之一给V着上的（为什么要证明到与V邻接的顶点数是五个，这是因为当与V邻接的顶点数小于等于4时，V周围的顶点在四种颜色都用完的情况下，一种颜色最多只可能用一次，而当与V邻接的顶点数大于等于5时，才可能开始出现4种颜色中某种颜色用两次以上的可能，这是与与V邻接的顶点小于等于4时有所不同的地方）；㈤他在给待着色顶点V的着色中用的是他所创造的颜色交换法，是正确的。坎泊的这个结论笔者认为是正确的，但只是缺少了一点，还不算太园满，即他只证明到了与V邻接的顶点数等5的情况，而没有证明与V邻接的顶点数大于5的情况，这是笔者认为坎泊的结论不尽合理的地方。
坎泊的主要成功是他创造了一种着色的方法，即一条道路上用两种颜色的交替着色法和颜色交换法。交替着色体现了节约的原则，颜色交换是一种非常巧妙的方法，我们在这里称其为“Kempe—颜色交换法”或“Kempe—交换法”。一条已用两种颜色着色的链（即一条道路），若交换该链上各顶点的颜色，并不影响该链以外的其它顶点的颜色。这个色链如果是一条环链（即一条回路，其上有偶数个顶点）时，它将把由另外的颜色构成的色链分成环内与环外两部分。这时，若对环内环外的任一部分中的别的色链进行交换时，而不会影响另一部分相同色链顶点的颜色。坎泊就是利用他的颜色交换法，对已经用了四种颜色、其中只有一个未着色的待着色顶点V着上了已用过的四种颜色之一的（这个顶点V处在一个5—星（或5—轮）的中心顶点上，与其相邻的5个顶点已经占用完了四种颜色）。
2、赫渥特对坎泊证明的否定
C•夏朗特（Cary Chartrand）在《图论的例和反例》一书的《序言》中说：该书“画出了Heawod的说明四色定理的Kempe的“证明”不对的有名反例”。该书的作者也在书中说：“Heawod的图1.12.3中的反例（Heawod 1890；Saaty 1972）说明Kempe的过程并非总是对的”。这两点都说明了赫渥特对坎泊的证明是否定的，主要是因为Heawod的图他本人不能4—着色的原因。Heawod的图如下：
赫渥特的这个图在《图论的例和反例》和《图说四色问题》（许寿椿著，北京大学出版社出版，2008年1月第一版第一次印刷）中都能找到。
在《图论的例和反例》中有这样的话：“用字母b，r，y，g来表示四种颜色。一条从v1到vn的其点交错的市面上有颜色r和g的道路称为一条从v1到vn的r—g链。”图中只有一个顶点V没有着上已用过的四种颜色之一。又说“有一条从2到4的b—g链，也有一条从2到5的b—y链，因此在任一条链上交换颜色都不能空出一种颜色给V。没有从1到4的r—g链，因此可以沿r—g链从1开始交换r和g。但这空不出r给V。因为与V相邻的3也是着r色。显然这可以变到一个y。但如果我们试图这样从3开始沿r—y链交换y和r那么6和7都变成了r。这样就可能使得即使每次交换移动一个r，但仍不能同时移去两个r。”这后一段话就明明白白的说明了赫渥特对他的图是不能进行4—着色的（请注意，这只是赫渥特对他的图不能4—着色，而不能说明这个图就不能4—着色），这也就是赫渥特否定坎泊有根本原因。也就是因为赫渥特对他的图不能4—着色的原因，所以他不得不给他的图中的待着色顶点V 着上第五种颜色，也急匆匆的抛出了一个什么“五色定理”，一直阻碍着四色猜测的证明。这实际上就是对坎泊的证明的否定。就是因为这个原因，直到《图论的例和反例》一书的翻译本1988年4月出版前，几乎一百一十年，赫渥特的图也是没有人能够给其4—着色的，当然四色猜测也就不可能得到证明了。
在《图论的例和反例》一书中，书的作者没有说赫渥特发现了坎泊的证明有漏洞，而只是说赫渥特的图是一个反例图，且说明了其所以是反例图的原因，即为什么不能对其4着色。而在其他的文献中，都只是说赫渥特发现了坎泊的证明有漏洞，却再什么也没有说，没有指出坎泊的漏洞在那里。直到2008年1月出版的许教授的《图说四色问题》一书中还是这么说的，“1879年律师兼数学家肯普（Kempe）发表了他的一个证明［7］。……。一时间人们误以为四色难题，就这样被解决了，攻克四色难题的热战也降温了。不料11年后，1890年，在牛津大学就读的希伍德（Heawood），用一个反例图（图1.3）指出肯普证明中有漏洞［11］。希伍德反例图就成为图论里第一个最著名的例图。”（此段话中的上标和图号为许教授引用的坎泊的论文和赫渥特的论文的编号以及《图说四色问题》一书中所画的赫渥特的图的图号）这里，同样也没有说明坎泊的漏洞在那里。许教授的参考文献里既有坎泊和赫渥特的论文，不知为什么还没有把这个漏洞弄明白。
3、赫渥特的图能够4—着色，说明赫渥特对坎泊的否定是错误的
关于赫渥特的图的4—着色，笔者早已于一九九○年对其4—着色成功。并于一九九二年三月八日在陕西省数学会第七次代表大会暨学术交流会上作了学术报告，当场对该图进行了4—着色，得到与会专家学者们的好评，因此陕西省数学会也吸收我为该会会员。本人对赫渥特的图的4—着色完全是在赫渥特已着色的的基础上、采用坎泊的颜色交换法进行的。对赫渥特的图的4—着色，不光是只对它进行了4—着色，而且要知道是如何进行4—着色的，还要知道赫渥特为什么没有对它进行4—着色，更要掌握对象赫渥特的图这样一类类型的图的4—着色的着色方法。赫渥特的图的4—着色，以及赫渥特对他的图着色失败的原因，请见笔者在本网站上发表的《Heawod—图的4—着色》，《Heawod—图的分析》和《Heawod着色失败的原因》三篇论文。其中对赫渥特的图已有了十多个4—着色模式。
在许寿椿教授的《图说四色问题》的书中，他还特别的指出：“需要特别说明一下，希伍德反例图的作用仅仅是揭示了肯普证明中有漏洞，并不是说这个图不能用四种颜色着色。”许教授也在书中借助计算机得到了赫渥特的图的几种不同的4—着色模式，且得到了赫渥特的图一共有256种4—着色模式。可这个“特别说明”说明了什么问题呢，既没有说明坎泊的漏洞在那里，也没有说明赫渥特为什么没有对他的图进行4—着色，更没有说明赫渥特的图能够4—着色是在什么时代的。从上面的证据显然可见，赫渥特那时是没有对其4—着色的以，所以赫渥特的这个反例图才能“成为图论里第一个最著名的例图”。那么现在对赫渥特的图进行了4—着色只能说明赫渥特那时对这个图不能进行4—着色而得出什么“五色定理”，用来对坎泊的证明进行否定是错误的。赫渥特对他的图不能进行4—着色（注意，这只是一个图，不能代表一般），也不能就这样轻易的否定了坎泊对四色猜测的证明，何况这个图的确是可以4—着色的。现在该图已能进行4—着色，那不就正好说明赫渥特对坎泊的证明的否定是错的吗。既然赫渥特的图能够进行4—着色，那么就不能再称其为四色问题的反例图了。所谓反例图，就是不能进行4—着色的图，能进行4—着色那还是什么反例图呢。所以，一方面称其为四色问题的“反例图”，另一方面又说其能够4—着色，这种说法是不的符合逻辑的。赫渥特那时不能进行4—着色，一百二十年后的今天，又能对其进行4—着色，这是很正常的现象。主要原因就是那时赫渥特还没有掌握对他这种类型的图进行着色的方法和技巧。
4、坎泊证明的漏洞在那里
许寿椿教授在《图说四色问题》里还这样说：“希伍德在指出肯普的差错（即指前述的“漏洞”——笔者）后，没有完全否定、抛弃肯普的成果。他借用肯普的方法，给出五色定理的证明。”坎泊的漏洞道底在什以地方呢。笔者认为，赫渥特所说的坎泊的漏洞就是他的图他不能对其进行4—着色。坎泊说“如果一个顶点V与五个其它用四种颜色着色的顶点邻接，那么总能空出诸颜色之一用来给V着色。他用了邻接顶点交错着色的道路，交换这些道路上各顶点的颜色，便可空出一种颜色给V”，赫渥特也就构造了一个只有一个顶点V没有着色的、且V周围也有5个顶点，并且已全部占用了图中已用过的四种颜色的图。赫渥特认为该图不能4——着色，不就是说明了坎泊的证明不对吗，得到了什么“五色定理”不就是对坎泊的否定吗。当然，他也不可能全部否定，坎泊的在一条道路上“交替着色”的着色方法，一条色链进行“颜色交换”的方法还是正确的嘛。他要否定也只能是否定结论而已。随着赫渥特的图的可4—着色，他指出的坎泊的所谓漏洞也就不存在了，实际上他所指出的是错误的。
另外，笔者认为，坎泊的证明的确是存在有不足之处，即在前面所说的“他只证明到了与V邻接的顶点数等5的情况，而没有证明与V邻接的顶点数大于5的情况”，这是笔者认为坎泊的结论不尽合理的地方。在与V邻接的顶点数等于5时的各种情下，V能着上已用过的四种颜色之一，那么在与V邻接的顶点数大5时，V也是能着上已用过的四种颜色之一的，因为这时与V邻接的顶点中至少有一种颜色用了两次，且这时与V邻接的顶点的着色情况包含着与V邻接的顶点数等于5时的情况的多种组合。所以与V 邻接的顶点数等于5时，V能着上四种颜色之一，那么当与V邻接的顶点数大于5时，V好是能着上四种颜色之一的。这不妨就算是本人对坎泊证明的一点补充吧。
所谓的“五色定理”非常荒堂。赫渥特不能对他的图进行4—着色，就得出一个“五色定理”，那么有人再要是对另一个图不能进行5—着色时，是不是还要得出一个“六色”或“七色”，甚至更多色的定理呢。一个图有n个顶点，用n种颜色不也可以吗，何必还要费那么大的劲去证明“四色猜测”呢。
5、结论
（1）四色猜测是正确的；
（2）坎泊的证明也是正确的，他是证明四色猜测是正确的第一个人；
（3）赫特所谓的坎泊的证明有漏洞，就是指他对他自已构造的图不能进行4—着色；
（4）坎泊的证明如果说有漏洞，那就是缺少说明待着色顶点V周围的顶点数大于5后，还能不能利用他的方法证明V还能着上已用过的四种颜色之一；
（5）赫渥特对坎泊的否定是错误的，他对他的图不能进行4—着色，不等于该图就真的不能4—着色，只是他那时还没有掌握对象他的图这样一类类型的图4—着色的方法；
（6）赫渥特的图从现在起再也不能叫做四色问题的反例图了，它是能够4—着色的，能4—着色的图还叫什么四色问题的反例图呢。
雷 明
二○○八年十二月四日于长安潏水湾
附：何宗光先生对本人《何宗光先生对Haewood的批评没有击中要害》一文的回复：
对雷明先生的回复
何宗光
雷明先生:
你的帖我看见了,你说的没错,我的确是没有击中希伍德五色定理证明的要害,是你的第三条击中了我的论文的要害。我要感谢你的提醒。……
至于你说Heawood是自己在没能对Heawood反例图未能进行四着色的情况下匆匆得出结论，提出来最多五色就够了。这其实是你对Heawood证明的误解，Heawood反例图的作用仅仅是提示了Kempe的证明有漏洞，并不是说这个图不能用四种颜色着色。（请参看许寿椿所著的“图说四色问题”一书）
…………
我觉得我们的讨论还是很有益的。……
何宗光
08．11．08
另外，我的《何宗光先生对Haewood的批评没有击中要害》一文在网上发表后，徐俊杰先生也发表了同样看法的贴子，其贴子现在已找不到了，所以也就无法附录在此。雷明。
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发表于 2008-12-8 16:41
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