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发表于 2009-4-16 16:40
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[重帖]斯露化雨：哥猜之最后证明
引言（二）
下面的《无须证明的原哥德巴赫猜想》一文是数年前写的，这篇文章才应该认真读一读（说明一下，当时写这些也是现炒现卖，所以有个别地方有些不大连贯，现在也懒得再改动，好在这不是正文，后面才是正经的证明。请理解。）——
无须证明的原哥德巴赫猜想
一
原哥德巴赫猜想命题仅要求证明: 任意一个大于4的偶数都可以表示为两个素数之和.
亦即:
设x为任意之偶数, 命D(x)表示x可表为两个素数之和表法的个数,命题就是要求证明
D(x)≥1, x>4. (1)
成立. 即命题是一个要求证明存在不存在的定性问题.
对于这个猜想，有人对一个一个的偶数进行了验算。据说，一个叫做Shen Mok Kong的外国数学家就一直验证到3亿3千万之数。都表明这个猜想是正确的。
我们并不知道数学家们是怎样来验证一个一个偶数的，不过，因为是定性问题，所以估计是只要一个偶数可表示为一组这样的两个素数和就算数，并没有刻意计较每一个偶数都有多少组这样的和。
我们要说，这样的验证虽然支持了原猜想，但对问题的解决毫无意义。我们不妨来作如下推理：
原猜想无疑可以表述为：
任意一个大于4的偶数都可以表示为至少1个(组)两素数之和.
首先,我们可以提出一个比之再弱一点的猜想：
任意一个大于0的偶数都可以表示为至少0个两素数之和.
即
D(x)≥0, x>0. (2)
当然,这是一个无须证明的问题, 也可以说根本就不是一个猜想。 但换言之, 它之所以不用证明我们可以把它看作是因为这个命题比原猜想稍微弱了一点点，准确地说，就是仅仅弱了1。
这是沿着原猜想之思路逆向推理的, 假如事情就到此为止, 这样的推理并没有什么意义， 不过接着我们就可以沿着这个思路继续作如下顺向推理：
∵ 6=3+3有1个这样的和; 8=3+5=5+3有2个这样的和;
10=3+7=7+3=5+5有3个这样的和。
注意：此处将素数p1+p2 =p2+p1，（p1不等于p2）视为两个和。
我们的第二个猜想就是:
任意一个大于6的偶数都可以表示为至少2个(组)两素数之和.
这个猜想无疑要强于原猜想，
或许有人会说，人家原猜想是经过大量的数字验证的，仅举如此简单3个偶数为例便提出一更强的猜想显得草率, 其实我们的(包括接下来后文的)猜想同样是建立在足够大量的数字验证基础之上的.
我们不妨接着推理:
∵ 12=5+7=7+5,可表示为 D(12)=2;
14=3+11=11+3=7+7,可表示为 D(14)=3;
16=3+13=13+3=5+11=11+5,可表示为 D(16)=4;
18=5+13=13+5=7+11=11+7,可表示为 D(18)=6;
20=3+17=17+3=7+13=13+7,可表示为 D(20)=4;
22=3+19=19+3=5+17=17+5=11+11,可表示为 D(22)=5;
...... ;
36=5+31=31+6=7+29=29+7=13+23=23+13=17+19=19+17,可表示为D(36)=8.
我们的第三个猜想就是:
任意一个大于12的偶数都可以表示为至少3个(组)两素数之和。
这个猜想又强于第二个猜想, 接下来:
∵ 38=7+31=31+7=19+19,即 D(38)=3;
40=3+37= ... =23+17; 即 D(40)=6;
...... ;
66=5+61= ... =37+29, 即 D(66)=12.
我们的第四个猜想就是:
任意一个大于38的偶数都可以表示为至少4个(组)两素数之和.
这个猜想又强于第三个猜想, 继续下去:
∵ D(68)=4;
...... ;
D(126)=20.
第五个猜想:
任意一个大于68的偶数都可以表示为至少5个(组)两素数之和.
这个猜想又强于第四个猜想.
再继续:
任意一个大于128的偶数都可以表示为至少6个两素数之和.
任意一个大于188的偶数都可以表示为至少10个两素数之和.
任意一个大于248的偶数都可以表示为至少12个两素数之和.
......
任意一个大于37172的偶数都可以表示为至少510个两素数之和.
任意一个大于37,247的偶数都可以表示为至少511个两素数之和.
任意一个大于37,762的偶数都可以表示为至少516个两素数之和.
......
任意一个大于956,668的偶数都可以表示为至少7,600个两素数之和.
任意一个大于961,934的偶数都可以表示为至少7,607个两素数之和.
任意一个大于965,366的偶数都可以表示为至少7,651个两素数之和.
（以上之数据均为精确数据）。
......
......
这样下去,我们即可得出无穷多个越来越强的猜想。可综述为：
任意一个偶数都可以表示为两个素数之和，且这样的和的个数的下界随着偶数的增大而增大，并且可以趋向无穷大。
亦即
设R>0为任意之自然数, 当偶数x充分大时,任何一个大于x的偶数都可以表示为两个素数之和,且这样的和的个数恒大于R.即有式
D(x)≥R, x>x0 （3）
成立。
这样的猜想无疑是合理的.
Euler 说:“这个猜想(即原猜想)我虽然不能证明, 但我认为它是一个不可怀疑的定理.。”我们知道, 不仅是Euler ,可以说虽然原命题至今未被最后证明, 但几乎所有的数学家都是相信原猜想是正确的[1].那么对于本文提出的这个比之强的多的猜想在未证明之前, 我们同样有理由相信它是正确的。
即: (3)式虽尚未证明,但从直观上可以初步判定上述猜想为真,若果如此,则证明原猜想就失去了意义。这是因为：假如原猜想(1)式已被证明,则我们紧接着就会提出第二个猜想;假如第二个猜想又被证明,我们又会提出第三个猜想;之后还有第四个猜想,第五个猜想,......如此下去,命题将永远不可能被最后证明。
那么，得出怎样的结果才能算是证明了哥德巴赫猜想呢？
二
我们说，哥德巴赫猜想命题是一个定量的问题，就是说它的最后的结果只能也必须是给出可以描述D(x)随x增大的变化规律的表达式，最接近D(x)实际值的表达式就是命题的最后结果。
其实，这样的看法也并非始于本人，数学家们也持有同样的观点.早在数十年前，英国的两位大数学家哈代和李德伍特(Hardy-Littlewood)就已经给出过哥猜一个猜测性的结果
D(x)~ φ(x)(x/(ln^2*(x),x→ω.
其中φ(x) =Π[1-(1/(p-1)^2)] Π(p-1)/(p-2),p>2,p/x.
p为素数.
不知朋友们是否知道,这哈-李可不是一般人物,他们绝对是猜测数论函数结果的高手,著名的三素数猜想(任意奇数都可以表示为三个素数之和)的猜测结果已被证明;对孪生素数的猜测性结果虽至今无人证明但它和实际值的吻合程度也令世人叹为观止这些我们都暂且不论。那么这个结果是否就是哥德巴赫猜想的最佳结果呢？ 我们也先不用管它（也不要被它的复杂的表达式吓住,没什么了不起的）。
还是先理清我们自己的思路继续推理：
上文已经给出了比原命题强的多的猜想，就是
设R>0为任意之自然数, 当偶数x充分大时,任何一个大于x的偶数都可以表示为两个素数之和,且这样的和的个数恒大于R.即有式
D(x)≥R, x>x0.
成立。
不过我们要说，这样强的猜想同样无须证明，因为我们还有比之更强的猜想：
我们只要认真观察前面给出的数据就可以发现如下规律（尽管还只能算是猜想，我们这里还是姑且称之为定理,目的是请你先不要怀疑它的正确性 ）
定理１
设x>4为任意偶数，恒有
D(x)>1/2 √x （4）
显然，这个定理要比前面的猜想强许多，因为定理已经指出D(x)之下界是随x变化的.因为x是恒增的,所以推得D(x)之下界恒增。
证明：这样的结果实际上没法直接证明,不过同样无须证明。
因为我们还有更强的：
你只要再认真观察前面给出的数据就还可以发现：这个常数“1/2”仍不足以描述D(x)之下界之变化，你会发现
因为
任意一个大于248的偶数都可以表示为至少12个两素数之和. 也就是
D(x)之下界=12,
而此时 1/2√x ≈7.9；
任意一个大于37,762的偶数都可以表示为至少516个两素数之和. 也就是
D(x)之下界=516,
而此时1/2 ≈92；
任意一个大于965,366的偶数都可以表示为至少7,651个两素数之和.
也就是
D(x)之下界=7651,
而此时1/2√x ≈492；
所以,我们自然有
定理2
设k>1/2为任意之实数，当x充分大时，恒有
D(x)>k√x,x>x_0 (5)
（5）
这个k和√x 都是随x恒增的，所以
定理２又强于定理1。
证明：这样的结果同样没法直接证明,也同样的无须证明。
因为我们还有更强的：
这个更强的结果就是确定 之后,找出系数k的变化规律。也就是求出
k≈f(?)
即定理3可表示为
D(x)(下界)≈f(?)*√x
这应该是一个有点看头的结果了。
不过这个定理将在后文给出，这里暂且打住，为的是请朋友们先猜一猜这个k≈f(?)大概是个什么样子的函数，最起码猜一下这个“？”表示什么？也就是k与什么数有直接关系？
三
看来没人能猜到前文提到的“？”表示什么。还是我来揭开谜底吧：
我们有
k=f(M)=1/2∏(M/M-2),
M=9，15，21，25，27，……表示奇复合数，9≤M≤a是限定的值域,即M过不大于√x 的诸奇复合数。因为M/(M-2)>1，所以k是一个恒增（非减更合适）函数。
所以我们有
定理４
D(x)_min=1/2√x ∏(M/M-2)+Δ,
对于这个M，读者可能会感觉不可思议：D(x)的变化与√x 有关说的过去；如果说与另一个函数有关的话，这个函数也应该是素数，怎么莫名其妙地冒出个奇复合数来了呢？而其实说怪也不怪，因为素数与合数本来就是密切相关的，没有复合数就没有素数，除２之外，所有的素数相邻之数都是复合数。
这里的Δ表示的是计算值与实际值的误差。因为这个误差值是相对误差，我们有
Δ/D(x)(下界) 趋于0,
非常简单吧，读者有兴趣可以用实际数据(39楼就有现成的)验证一下。这里就省略了。
对于定理的证明，我们已经用了太多的“不能直接证明，也无须证明”。这已经是一个非常好的结果了，应该给出证明了吧。
非常抱歉，还是这句老话“不能直接证明，也无须证明，因为还有更强的定理。”
我们前面主要讨论的是D(x)(下界)的变化规律，读者也有人指出，实际上对于任意偶数x来说,D(x)是上下起伏变化的。举个例子，我们有
120=7+113=11+109=13+107=17+103=19+101=23+97=31+89=37+83=41+79=47+73=53+67=59+61
因为这都是两个不同的素数之和,按照定义,有
D(120)=24
122=13+109=19+103=43+79=61+61
D(122)=7
124=11+113=17+107=23+101=41+83=53+71
D(124)=10
126=13+113=17+109=19+107=23+103=29+97=37+89=43+83=47+79=53+73=59+67
D(126)=20
128=19+109=31+97=61+67
D(128)=6
130=3+127=17+113=23+107=29+101=41+89=47+83=59+71
D(130)=14
……
我们看到，128大于120，而D(120)=4*D(128)。 D(x)这样的起伏变化是普遍现象。
为什么会出现这样的起伏呢？它是什么因素引起的呢？起伏的规律是什么呢？这都是需要回答的问题。
我们根据以上几个数字可以大致观察到这样的规律。D(120)最大,120有小奇素因子3,5；D(126)次之,它有小奇素因子3；D(130)再次之，它有小奇素因子5；122,124,128没有小奇素因子,所以它们的D(x)值较小。
可以大致总结为。偶数的小奇素因子越小越多，它的Ｄ（ｘ）值就越大。
可能马上就会有人提出：122,124,128都没有小奇素因子,为什么会有D(124)=10而D(128)=4这样的差距呢?实际上这是两种因素造成的,后文会一一讲解清楚,这里我们先不去管它。
我们也可以顺便验证一下（６）式，我们有
D(120~130)(下界)≈(1/2)*(9/7)*11.3≈7.3
还算可以(自我感觉算良好)。
好了，我们还是回到正题。
我们有
定理５ 设x>4为任意之偶数
（7）
D(x)=1/2√x ∏(M/M-2) ∏(p-1/p-2)+Δ,
注意定理4,5的符号用的是"≈"而不是"～"。这两个符号是有着本质的区别的，"～"表示的是渐近式，例如素数定理π(x)～x/ln x，它表示的是x/ln x是x趋于无穷大时的π(x)的近似值，而我们知道，几乎所有能验证的数字都有π(x)大于x/ln x，随着数字的增大，它的绝对误差可能越来越大，但相对误差却越来越小。不过这样的定理都是经过严谨的数学证明的,我们不会怀疑它的正确性。但是假如未经证明，我们就无法用具体数字验证，因为小的数字不准确，鬼才知道到无穷大是个什么样子呢？而"≈"表示的是约等于，这里表示"≈"前面实际值是以"≈"后面的计算值为准线作小幅的上下浮动的。它和用"～"表示的公式正好相反，是在未被证明之前至少就可以用小的数字来初步验证其正确性的.
我们不妨用（７）式验证一下上面的例子。
三个小的数字和下界接近,我们再看大的(注意:丑媳妇要见公婆了).
D(120)=(1/2)*[(3-1)/(3-2)]*[(5-1)/(5-2)]*(9/7)*10.95≈18.8+5.2=24
D(126)=(1/2)*[(3-1)/(3-2)]*(9/7)*11.22≈14.4+5.6=20
D(130)=(1/2)*[(5-1)/(5-2)]*(9/7)*11.40≈9.8+4.2=14
与实际值误差较大，这样的误差似乎用"≈"来表示是不可忍受的，不过这些误差都是绝对误差，随着偶数的增大，其相对误差会越来越小。我们不妨再验证一个较大的.
我们有
D(54500)= 980
54500=2^n_1*5^ n_2*109 ^ n_3
可以推得这么大的数字的下界值约为
490*(3/4)*(107/108)≈730
也许你还会说验证这样小的数字还是说明不了什么。假如你有工夫，你可以用任意大的数字来验证，我保证我们的“猜想”是坚挺的，绝对不会发生什么“意外”。
不过这些最终还是要靠证明说话的。那么，这么好的结果了，应该给出证明了吧。回答是：
这仍然不是最好结果，实际上这个结果同样是不可以直接证明的。
所以，我们还是耐心等“最后的审判”吧！
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发表于 2009-4-16 16:37
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