设 n=10^210/(10^10+3) 。求：（1）n 的个位数字。（2）n 的位数。

luyuanhong · 发表于 2014-7-1 10:54

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

10^(210)/ [10^(10)+3]

(1) 個位數字是?

(2) 幾位數?

考試有附 3^21 次方的值

drc2000 · 发表于 2014-7-1 11:17

3^21 = 10 460 353 203

drc2000 · 发表于 2014-7-1 11:24

常用对数，lgn=lg[10^210/(10^10+3)]=lg(10^210)-lg[(10^10+3)]
由于10^10+3非常接近10^10，所以lgn≈lg(10^210)-lg(10^10)=200（只比200略小一点）
所以lgn首数为199
所以n是199+1=200位的数

drc2000 · 发表于 2014-7-1 12:06

继续前面的二,三楼:

n=10^200*[1/（1+(3/10^10)）]根据（泰勒？麦克马林？）公式
n=10^200*[1-3/10^10+(3^2)/(10^20)-(3^3)/(10^30)-(3^3)/(10^30)+...]
=10^200-3*(10^199)+(3^2)*(10^180)-(3^3)*(10^170)+...-(3^19)*(10^10)+(3^20)*1
注意到上面除最后一项外,其余项均和n的末位无关.
所以只需要考虑3^20的末位.
而3^21已经给出.....

luyuanhong · 发表于 2014-7-1 13:23

本帖最后由 luyuanhong 于 2014-7-1 13:30 编辑

谢谢楼上 drc2000 的解答。下面是我给出的此题的详细解答：

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设 n=10^210/(10^10+3) 。求：（1）n 的个位数字。（2）n 的位数。

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