方程 (x+1)(x+2)(x+6)(x+7)=y^2 有几组正整数解 (x,y) ？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

(X+1)(X+2)(X+6)(X+7)=Y^2  有幾個正整數解 (X,Y)

luyuanhong

moranhuishou

设t=x+4,则方程化为
(x^2-4)(x^2-9)=y^2
y若有整解，设x^2=R,并设y=R-h,则
(r-4)(r-9)=(r-h)^2
r^2-13r+36=r^2-2hr+h^2
因13<>2r,据根与系数的关系，上式不可能成立，所以方程无整解。

moranhuishou

设t=x+4,则方程化为
(t^2-4)(t^2-9)=y^2
y若有整解，设t^2=R,并设y=R-h,则
(r-4)(r-9)=(r-h)^2
r^2-13r+36=r^2-2hr+h^2
因13<>2h,据根与系数的关系，上式不可能成立，所以方程无整解。