请教用微分几何求解这样一个优化曲线问题的思路？

maohbao2 · 发表于 2014-7-17 22:02

本帖最后由 maohbao2 于 2014-7-18 17:28 编辑

如上图所示，在二维平面上，已知质点P的初始坐标（x0,y0）和初始航向θ0，质点P的最大曲率限制为k，现在要求一条长度最短的平面曲线S，使其由当前位置切入到平面上一个已知的圆周上（圆心位置和曲率已知）。切入点可以是圆周上的任一点，只要曲线S在切入点处的矢量与圆相切即可。

本人非数学专业，敬请各位不吝指教，谢谢！个人认为用微分几何方法解此问题可能恰当一些，但没有具体思路，如果有其它较简便的方法也行。

进一步地，如果拓展到三维空间，再加上质点挠率的上限限制，圆周改为圆柱表面，如何求解？再谢！

maohbao2 · 发表于 2014-7-18 17:24

本帖最后由 maohbao2 于 2014-7-18 17:28 编辑

是这个问题本身没有价值，还是我来错了地方？请走过路过的留下点什么，这样我也不必一天刷几次贴干等。如果是我来错了地方，请指教一下微分几何方面的问题应该在哪发贴求教？

不胜感谢！

luyuanhong · 发表于 2014-7-18 18:34

这问题中曲线形状是不确定的，所以要求解，不仅要用到微分几何，还要用到变分法。

用变分法求解往往是非常困难的。

luyuanhong · 发表于 2014-7-18 18:44

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

maohbao2 · 发表于 2014-7-18 21:58

“用变分法求解往往是非常困难的”是不是指很难得到解析解？

谢谢陆老师的思路，我研究下先，回头哪儿卡住了继续请教！

luyucheng1 · 发表于 2014-7-19 13:46

陆老师从数学分析进行详细的介绍，我的理解比较简单。

maohbao2 · 发表于 2014-7-19 23:26

luyucheng1 发表于 2014-7-19 13:46
陆老师从数学分析进行详细的介绍，我的理解比较简单。

非常感谢 luyucheng1 启发了我，正好我也查到，两个矢量之间的最短路径必为 dubins 曲线，即只由直线和圆弧构成的曲线，与您的思路一致。正在研究具体的曲线计算方法，如圆弧和直线的端点。

另外还有一个问题，我的控制曲率只是个上限，实际曲线只要小于或等于这个曲率都可以，这样仍然存在求最优问题，如您图中所示的“控制曲率很大”的情况（即最下面的这条曲线），实际会存在满足条件的很多曲线对，要找路径最短，仍然需要用到最优化函数，所以还不是个确定性的解析计算的问题，对吧？

luyucheng1 · 发表于 2014-7-20 08:29

"实际会存在满足条件的很多曲线对，要找路径最短，仍然需要用到最优化函数，所以还不是个确定性的解析计算的问题，对吧？"

你说的很不错，是会有很多途径可以到达，但你想想，开始就以最大（条件）曲率（最小半径）使质点转向，到达两圆外切时即改为直线运动，其路径必然必最小。如果允许任意曲率，可是质点在起点处转向，直接与圆相切，路径最短，是这个道理吧。

maohbao2 · 发表于 2014-7-20 21:41

luyucheng1 发表于 2014-7-20 08:29
"实际会存在满足条件的很多曲线对，要找路径最短，仍然需要用到最优化函数，所以还不是个确定性的解析计算 ...

你这种分析只是一种直观上的推测，“最短”性需要数学上的证明，这个怎么办？

maohbao2 · 发表于 2014-7-22 22:58

我的问题别沉下去了啊......

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