Find the sum of fractions

daisyxixi

大家好，

我是初来报到，我不是很会华语，但是我想问一个非常难的数学题，我用一种简单访法来解决， 可是， 我知道那不是个好办法，我想问这是否有跟好的办法来解决这类数学题？

非常感激任何回答， 谢谢各位！

If we are given

$\displaystyle \frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+...+\frac{a_{2013}}{2014}=\frac{4}{3}$

$\displaystyle \frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{4}+...+\frac{a_{2013}}{2015}=\frac{4}{5}$

$\displaystyle \frac{a_1}{4}+\frac{a_2}{5}+...+\frac{a_{2013}}{2016}=\frac{4}{7}$

$\vdots$

$\displaystyle \frac{a_1}{2014}+\frac{a_2}{2015}+...+\frac{a_{2013}}{4026}=\frac{4}{4027}$

evaluate $\displaystyle \frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{5}+...+\frac{a_{2013}}{4027}$.

我的做法：

我先找$a_1$ and $a_2$, 然后发现$\dfrac{a_1}{3}+\dfrac{a_2}{5}={24}{25}=1-\dfrac{1}{5^2}$

我然后找$a_1$，$a_2$ and $a_3$, 然后发现$\dfrac{a_1}{3}+\dfrac{a_2}{5}+\dfrac{a_3}{7}={48}{49}=1-\dfrac{1}{7^2}$

所以 $\displaystyle \frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{5}+...+\frac{a_{2013}}{4027}=1-\dfrac{1}{4027^2}$。