哥德尔不完备定理是否适用于欧氏几何系统？

fm1134

哥德尔不完备定理表明，对于任何蕴涵皮亚诺算术公理的系统，完备性和相容性都是不能同时满足的。而经过希尔伯特完备化后的欧氏几何系统是完备的，如果哥德尔不完备定理适用于完备化后的欧氏几何系统的话，那么立刻便可得出“完备化后的欧氏几何系统是不相容”的结论来，这也就是说，完备化后的欧氏几何系统必定是可以推出自相矛盾的定理来的。
这样理解有什么问题吗？

fm1134

     这个问题本人已于前几日发表过，并得到了陆老师的解答，但由于论坛出现故障，帖子已丢失，故重发此帖。
    陆老师解答的原文我记不大准确了，大意是说“一个形式系统必须足够大、足够复杂，才适用于哥德尔不完备定理，而欧氏几何系统还不够大、不够复杂，所以不适用于哥德尔不完备定理，因此，欧氏几何系统兼有相容性和完备性。”
    在这里，首先非常感谢陆老师的解答。但还有点疑问。
    如果我没有理解错的话，陆老师的意思是说，一个系统必须蕴涵皮亚诺算术公理，才能满足哥德尔不完备定理，但欧氏几何系统并不蕴涵皮亚诺算术公理，所以就不满足哥德尔不完备定理了。但我们知道，实数理论是相容而且完备的，难道实数理论也不蕴涵皮亚诺算术公理吗？

luyuanhong

注意：“哥德尔不完备定理”并不是说任何公理系统都是不完备的。

一个公理系统，只有当它足够大，包含了一些会引起不完备的内容时，它才可能是不完备的。

如果把一个公理系统严格地限制在一个较小的范围内，那么它可以做到既完备又相容。

Hilbert 公理化后的欧氏几何系统，就是这样的一个系统，所以它是完备而且相容的。

参看“维基百科”中关于“哥德尔不完备定理”的说明：

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5 ... 7%E5%AE%9A%E7%90%86

fm1134

luyuanhong 发表于 2014-10-15 16:44
注意：“哥德尔不完备定理”并不是说任何公理系统都是不完备的。

一个公理系统，只有当它足够大，包含了 ...

      谢谢陆老师的解答！
      陆老师回复中所说的“公理系统足够大”、“限制在较小的范围内”等词，数学意义不是很明确。如果我没有理解错的话，陆老师是指“是否蕴涵皮亚诺算术公理”吧？蕴涵了皮亚诺算术公理的系统，就满足哥德尔不完备定理的条件了。否则，就不满足。
      而我们知道，实数理论是完备而且相容的，难道说实数理论也不蕴涵皮亚诺算术公理吗？

luyuanhong

“维基百科”中关于“哥德尔不完备定理”的说明：

哥德尔的第一条定理有不少误解。我们就此稍作说明：

1.该定理并不意味着任何有趣的公理系统都是不完备的。

例如，欧几里得几何可以被一阶公理化为一个完备的系统

（事实上，欧几里得的原创公理集已经非常接近于完备的系统。

所缺少的公理是非常直观的，以至于直到出现了形式化证明之后

才注意到需要它们）

2.该定理需假设公理系统可以“定义”自然数。就算这些系统拥有

包括自然数作为子集的模型，也不一定就能定义自然数。必须透过

公理和一阶逻辑，在系统中表达出“x是一个自然数”这个概念才行。

有许多系统包含自然数，却是完备的。例如，塔斯基（Tarski）

证明了实数和复数理论都是完备的一阶公理化系统。

3.这理论用在人工智能上，则指出有些道理可能是我们能够判别，但机器

单纯用一阶公理化系统却无法得知的道理。不过机器可以用非一阶公理化系统，

例如实验、经验。

fm1134

luyuanhong 发表于 2014-10-15 22:50
“维基百科”中关于“哥德尔不完备定理”的说明：

哥德尔的第一条定理有不少误解。我们就此稍作说明：

      这段话我也仔细看过了。按照我的理解，这段话的意思是说，欧氏几何和实数理论都不满足“必须要蕴涵皮亚诺算术公理”的条件，因此它们都不适用于哥德尔不完备定理，因此，欧氏几何和实数理论都是相容且完备的。
      不知我的理解是否正确？

luyuanhong

我想大致上就是这意思。

fm1134

luyuanhong 发表于 2014-10-16 08:49
我想大致上就是这意思。

实数理论是建立在自然数算术运算的基础之上的，然而实数理论居然不包含皮亚诺算术公理，这让人感到很难以理解。