f(x)=x^3+ax^2+bx+c ，a,b,c 为整数，已知 f(0), f(-1) 都是奇数，下列叙述是否正确？

luyuanhong · 发表于 2014-10-21 17:20

本帖最后由 luyuanhong 于 2014-10-22 23:26 编辑

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

moranhuishou · 发表于 2014-10-22 11:18

(c)、不可能有3个整数根。

moranhuishou · 发表于 2014-10-22 11:29

本帖最后由 moranhuishou 于 2014-10-22 03:42 编辑

由题得
1+a+b+c=奇数
-1+a-b+c=奇数
可知，a,b,c3数都是偶数或只有1个是偶数。
二式相加
2（a+c）=偶
两边除以2

a+c=奇
a,c一偶一奇。所以b必为奇数。
方程若有3个整解，则a,c必然同为奇数或偶数。
因为a,c一偶一奇，所以方程不可能有3个整数解。

moranhuishou · 发表于 2014-10-22 11:32

补充一点：
3次方程的整解为
a=x1+x2+x3
c=x1x2x3

luyuanhong · 发表于 2014-10-22 15:59

本帖最后由 luyuanhong 于 2014-10-23 00:26 编辑

moranhuishou · 发表于 2014-10-22 18:25

陆先生的题目与原目有区别，原题是“下列哪一个表述一定正确”，而陆先生的为“下列表述是否正确”，两个问题是有区别的。

moranhuishou · 发表于 2014-10-22 19:23

3楼的证明也有误，就是
两边除以2

a+c=奇？

luyuanhong · 发表于 2014-10-23 00:32

谢谢楼上 moranhuishou 的解答。

原题中是 “f(0),f(-1) 为奇数” ，我错看成 “f(1),f(-1) 为奇数” 了。

十分抱歉！我现已在第 5 楼的帖子中作了更正。

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f(x)=x^3+ax^2+bx+c ，a,b,c 为整数，已知 f(0), f(-1) 都是奇数，下列叙述是否正确？

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