在圆周上任取三点 A,B,C ，求 A,B,C 三点落在同一半圆周内的概率

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

在半徑為1的圓周上任取三點ABC, 求 ABC三點可落在同一半圓周內的機率?

luyuanhong

在圆周上任取三点A,B,C，求A,B,C三点落在同一半圆周内的概率.zip (42.71 KB, 下载次数: 14)

2014-10-21 23:36 上传

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天山草

我用 VB 语言编写了一个小程序，用产生随机数的方法模拟每次的试验，试验次数累计到 1 亿次，求得概率为 0.74999832（理论概率是0.75）。
程序如下：   
         
     Private Sub form_Click()         
     Randomize     '启动随机数发生器
     n = 0
     For i = 1 To 1000000   ' 试验次数
      b1 = 360 * Rnd  '产生三个 1 至 360 之间的随机数
      b2 = 360 * Rnd
      b3 = 360 * Rnd     
     If b1 <= b2 And b1 <= b3 And b2 <= b3 Then a1 = b2 - b1: a2 = b2 - b3
     If b1 <= b3 And b1 <= b2 And b3 <= b2 Then a1 = b3 - b1: a2 = b3 - b2
     If b2 <= b1 And b2 <= b3 And b1 <= b3 Then a1 = b1 - b2: a2 = b1 - b3
     If b2 <= b3 And b2 <= b1 And b3 <= b1 Then a1 = b3 - b2: a2 = b3 - b1
     If b3 <= b1 And b3 <= b2 And b1 <= b2 Then a1 = b1 - b3: a2 = b1 - b2
     If b3 <= b2 And b3 <= b1 And b2 <= b1 Then a1 = b2 - b3: a2 = b2 - b1
     
     If a1 <= 180 And -a2 <= 180 And a1 + (-a2) <= 180 Then n = n + 1  '三个点同在半圆内的情况一      
     If a1 >= 180 And -a2 >= 180 And (360 - a1) + (360 + a2) <= 180 Then n = n + 1 '三个点同在半圆内的情况二      
     If a1 >= 180 And -a2 <= 180 Then n = n + 1    '三个点同在半圆内的情况三      
     If a1 <= 180 And -a2 >= 180 Then n = n + 1    '三个点同在半圆内的情况四     
    Next i
    Print "s="; n / (i - 1)      
End Sub

    说明一下编程思路——
    假定这圆周内部是一个圆盘，游戏者每次往盘上投掷三枚飞镖。
    从圆盘中心向这三枚飞镖引三条射线，与圆周交于三点。这三点位于同一半圆圆周上的概率即为所求。
    每试验一次，程序就产生三个 1 至 360 的随机数 b1，b2，b3，代表三枚飞镖的角度，将这三个角度同步旋转，使中间值角度到达 0 度位置，此时最大角度算是正角度，最小角度算是负角度。程序中将正角度记为 a1，负角度记为 a2，那个中间值角度 a0=0 不必要在程序中出现。   
    每试验一次，就把三枚飞镖是否落在同一半圆内的次数进行统计，最后算算总账，即得概率。
    编程难点是，如何考虑 a0，a1，a2 是位于同一半圆内？ 如果对各种情况漏掉或多算，就出错了。我考虑的四种情况是：
    （1）如果 a1，a2 都在第一、第二象限中，则 a0，a1，a2 位于同一半圆内；
    （2）如果 a1，a2 都在第三、第四象限中，则 a0，a1，a2 位于同一半圆内；
    （3）如果 a1 在一、二象限中，而 a2 在三、四象限中，就要计算 a1a0a2 圆弧是否小于半圆，是，则 a0，a1，a2 位于同一半圆内；
    （4）如果 a2 在一、二象限中，而 a1 在三、四象限中，就要计算 a1a0a2 圆弧是否小于半圆，是，则 a0，a1，a2 位于同一半圆内。

水无月

P=【（2π-x）在（0，π）积分】/π=0.75

水无月

水无月 发表于 2016-6-6 19:39
P=【（2π-x）在（0，π）积分】/π=0.75

“π”是pai

dodonaomiki

从上面两位老师的解答来看，
我的思路和方向，肯定出错啦！因为，我的计算结果，不是3/4


但，我检查了好几遍，
始终发现不辽自己的错误！
一直觉得，
是7/16，
哪位大侠，可以指出一下我的错误？谢谢~~~

luyuanhong

dodonaomiki 发表于 2016-6-6 22:47
从上面两位老师的解答来看，
我的思路和方向，肯定出错啦！因为，我的计算结果，不是3/4

举个简单的例子：

设 A 在区域 1 中 11 点钟的位置，B 在区域 2 中 1 点钟的位置，C 在区域 4 中 4 点钟的位置。

这时，A,B,C 显然在同一半圆周内，但是按照楼上的做法，却没有把这种情况计算进去。

dodonaomiki

:Dlaoshi
老师，我知道我错在哪里啦~~~实际上就是，我没有细化
进一步的说，我的思路和方法，是行不通的！



另外，原来老师的方法，是极其简单的、;P简洁的，很好的，现在，也看懂啦！

王守恩

在半径为R的圆周上任取两点，则两点落在同一半圆周内的概率是1/2；
在半径为R的圆周上任取三点，则三点落在同一半圆周内的概率是3/4＝1/2+1/4；
在半径为R的圆周上任取四点，则四点落在同一半圆周内的概率是7/8＝1/2+1/4+1/8；
在半径为R的圆周上任取五点，则五点落在同一半圆周内的概率是15/16＝1/2+1/4+1/8+1/16;
。。。。。。
各位网友，我的想法不太成熟，希望大家批评。



求概率的题目，答案不可能是1。

王守恩

王守恩 发表于 2016-10-10 08:38
在半径为R的圆周上任取两点，则两点落在同一半圆周内的概率是1/2；
在半径为R的圆周上任取三点，则三点落 ...

我用的是加法原理。
一件工作，
第1个人完成全部的1/2，
第2个人完成剩下的1/2，
第3个人完成再剩下的1/2，
第4个人完成再再剩下的1/2，