设为首页收藏本站

数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 2651|回复: 11

在圆周上任取三点 A,B,C ,求 A,B,C 三点落在同一半圆周内的概率

[复制链接]
发表于 2014-10-21 21:16 | 显示全部楼层 |阅读模式
这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子,

欢迎大家一起来想想如何解答:

在半徑為1的圓周上任取三點ABC, 求 ABC三點可落在同一半圓周內的機率?

 楼主| 发表于 2014-10-21 23:36 | 显示全部楼层
在圆周上任取三点A,B,C,求A,B,C三点落在同一半圆周内的概率.GIF

在圆周上任取三点A,B,C,求A,B,C三点落在同一半圆周内的概率.zip (42.71 KB, 下载次数: 13)
回复 支持 3 反对 0

使用道具 举报

发表于 2016-10-17 09:13 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2016-10-17 10:06 编辑

我用 VB 语言编写了一个小程序,用产生随机数的方法模拟每次的试验,试验次数累计到 1 亿次,求得概率为 0.74999832(理论概率是0.75)。
程序如下:   
         
     Private Sub form_Click()         
     Randomize     '启动随机数发生器
     n = 0
     For i = 1 To 1000000   ' 试验次数
      b1 = 360 * Rnd  '产生三个 1 至 360 之间的随机数
      b2 = 360 * Rnd
      b3 = 360 * Rnd     
     If b1 <= b2 And b1 <= b3 And b2 <= b3 Then a1 = b2 - b1: a2 = b2 - b3
     If b1 <= b3 And b1 <= b2 And b3 <= b2 Then a1 = b3 - b1: a2 = b3 - b2
     If b2 <= b1 And b2 <= b3 And b1 <= b3 Then a1 = b1 - b2: a2 = b1 - b3
     If b2 <= b3 And b2 <= b1 And b3 <= b1 Then a1 = b3 - b2: a2 = b3 - b1
     If b3 <= b1 And b3 <= b2 And b1 <= b2 Then a1 = b1 - b3: a2 = b1 - b2
     If b3 <= b2 And b3 <= b1 And b2 <= b1 Then a1 = b2 - b3: a2 = b2 - b1
     
     If a1 <= 180 And -a2 <= 180 And a1 + (-a2) <= 180 Then n = n + 1  '三个点同在半圆内的情况一      
     If a1 >= 180 And -a2 >= 180 And (360 - a1) + (360 + a2) <= 180 Then n = n + 1 '三个点同在半圆内的情况二      
     If a1 >= 180 And -a2 <= 180 Then n = n + 1    '三个点同在半圆内的情况三      
     If a1 <= 180 And -a2 >= 180 Then n = n + 1    '三个点同在半圆内的情况四     
    Next i
    Print "s="; n / (i - 1)      
End Sub

    说明一下编程思路——
    假定这圆周内部是一个圆盘,游戏者每次往盘上投掷三枚飞镖。
    从圆盘中心向这三枚飞镖引三条射线,与圆周交于三点。这三点位于同一半圆圆周上的概率即为所求。
    每试验一次,程序就产生三个 1 至 360 的随机数 b1,b2,b3,代表三枚飞镖的角度,将这三个角度同步旋转,使中间值角度到达 0 度位置,此时最大角度算是正角度,最小角度算是负角度。程序中将正角度记为 a1,负角度记为 a2,那个中间值角度 a0=0 不必要在程序中出现。   
    每试验一次,就把三枚飞镖是否落在同一半圆内的次数进行统计,最后算算总账,即得概率。
    编程难点是,如何考虑 a0,a1,a2 是位于同一半圆内? 如果对各种情况漏掉或多算,就出错了。我考虑的四种情况是:
    (1)如果 a1,a2 都在第一、第二象限中,则 a0,a1,a2 位于同一半圆内;
    (2)如果 a1,a2 都在第三、第四象限中,则 a0,a1,a2 位于同一半圆内;
    (3)如果 a1 在一、二象限中,而 a2 在三、四象限中,就要计算 a1a0a2 圆弧是否小于半圆,是,则 a0,a1,a2 位于同一半圆内;
    (4)如果 a2 在一、二象限中,而 a1 在三、四象限中,就要计算 a1a0a2 圆弧是否小于半圆,是,则 a0,a1,a2 位于同一半圆内。
回复 支持 1 反对 0

使用道具 举报

发表于 2016-6-6 19:39 | 显示全部楼层
P=【(2π-x)在(0,π)积分】/π=0.75
发表于 2016-6-6 19:40 | 显示全部楼层
水无月 发表于 2016-6-6 19:39
P=【(2π-x)在(0,π)积分】/π=0.75

“π”是pai
发表于 2016-6-6 22:47 | 显示全部楼层
本帖最后由 dodonaomiki 于 2016-6-6 15:40 编辑

从上面两位老师的解答来看,
我的思路和方向,肯定出错啦!因为,我的计算结果,不是3/4


但,我检查了好几遍,
始终发现不辽自己的错误!
一直觉得,
是7/16,
哪位大侠,可以指出一下我的错误?谢谢~~~
截图00.jpg
截图01.jpg
截图02.jpg
 楼主| 发表于 2016-6-7 06:57 | 显示全部楼层
dodonaomiki 发表于 2016-6-6 22:47
从上面两位老师的解答来看,
我的思路和方向,肯定出错啦!因为,我的计算结果,不是3/4

举个简单的例子:

设 A 在区域 1 中 11 点钟的位置,B 在区域 2 中 1 点钟的位置,C 在区域 4 中 4 点钟的位置。

这时,A,B,C 显然在同一半圆周内,但是按照楼上的做法,却没有把这种情况计算进去。
发表于 2016-6-7 11:58 | 显示全部楼层
:Dlaoshi
老师,我知道我错在哪里啦~~~实际上就是,我没有细化
进一步的说,我的思路和方法,是行不通的!



另外,原来老师的方法,是极其简单的、;P简洁的,很好的,现在,也看懂啦!
发表于 2016-10-10 08:38 | 显示全部楼层

q

本帖最后由 王守恩 于 2016-10-15 14:28 编辑

在半径为R的圆周上任取两点,则两点落在同一半圆周内的概率是1/2;
在半径为R的圆周上任取三点,则三点落在同一半圆周内的概率是3/4=1/2+1/4;
在半径为R的圆周上任取四点,则四点落在同一半圆周内的概率是7/8=1/2+1/4+1/8;
在半径为R的圆周上任取五点,则五点落在同一半圆周内的概率是15/16=1/2+1/4+1/8+1/16;
。。。。。。
各位网友,我的想法不太成熟,希望大家批评。



求概率的题目,答案不可能是1。

点评

【在半径为R的圆周上任取两点,则两点落在同一半圆周内的概率是1/2;】 这个不对吧?概率是 1.  发表于 2016-10-15 06:57
发表于 2016-10-15 06:27 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2016-10-10 08:38
在半径为R的圆周上任取两点,则两点落在同一半圆周内的概率是1/2;
在半径为R的圆周上任取三点,则三点落 ...

我用的是加法原理。
一件工作,
第1个人完成全部的1/2,
第2个人完成剩下的1/2,
第3个人完成再剩下的1/2,
第4个人完成再再剩下的1/2,
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|Archiver|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )  

GMT+8, 2017-9-20 08:11 , Processed in 0.311396 second(s), 26 queries .

Powered by Discuz! X3.1

© 2001-2013 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表