震惊，全新的公理，全新的几何

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震惊，全新的公理，全新的几何

关于公理
我的公理的前四条与欧几里得几何相同，只是第五条不同。我的公理是：在球面上，过已知直线外一点有无限多条直线与已知直线不相交，但只有一条直线与已知直线平行。直线的定义：球面上的任何一个圆都是球面上的直线。无论是大圆还是小圆。
这个公理里包含如下的意思：不相交不等于就是平行。只有距离保持不变才是平行。在球面上三点决定一条直线，所以只要两条直线的三个点的距离保持不变，那么这两条直线就是平行的。
先看一个结论：
如下图所示，在球面上，若互相平行的两条直线（a和b）被第三条直线c所截，则同位角1与2相等、同旁内角2与3互补。

图
许多人都会怀疑这个结论，但这个结论却是正确的。为什么正确？且听下面分解。
在球面上，用平面截球面，都会得到圆，如果用平面通过球心截球面，得到的是大圆（我称这个平面为大圆平面），不通过球心截球面，得到的是小圆（我称这个平面为小圆平面）。目前人类认为，大圆为球面上的直线。但在我的定义中，小圆和大圆都是球面上的直线，也就是球面上的大圆是直线，但不是只有大圆才是直线，小圆也是直线。
为啥大圆是球面上的直线呢？直的本质就是不弯曲，大圆是沿着球的赤道、始终不改变方向（在垂直于大圆的方向始终没有发生弯曲）的线，所以大圆是球面上的直线。的确，球面本身是弯曲的，但这种弯曲是球面上必然有的弯曲（否则就不是球面了），所以不能根据这个弯曲认为大圆不是直线。
那么为啥小圆也是球面上的直线呢？因为直的本质就是不弯曲，小圆也是沿着球面的某一方向（在垂直于小圆的方向始终没有发生弯曲）的线（比如在北纬30度的位置一直向东或西走，始终不改变方向的走，就会走出小圆来），所以小圆也是球面上的直线。的确，球面本身是弯曲的，但这种弯曲是球面上必然有的弯曲（否则就不是球面了），所以不能根据这个弯曲认为小圆不是直线。
当球的直径无限大时，无论是大圆还是小圆都会成为直线。大圆小圆在本质上是一样的。
再一点，球面上射线可以是沿着小圆的，也可以使沿着大圆的。若从球面上一点发出的射线，其所在的平面与通过该点球直径的夹角不为零，那么射线的轨迹就是小圆，否则射线的轨迹就是大圆。所以，射线轨迹未必都是大圆，因为小圆也是球面上的直线。

因为在球面上大圆及小圆都是直线，所以，在球面上
过两点有无数条直线。
三点决定一条直线。
大圆弧构成的角是角，小圆弧或大小圆弧混合构成的角也是角。
大圆弧构成围成的三角形是三角形，小圆弧或大小圆弧的混合构成的三角形也是三角形。
过已知直线外一点只有一条直线与已知直线平行。（球面上存在平行线）
不相交的直线不一定平行。
不平行的直线不一定相交。
三角形的内角和大于等于180度。
同一直线的垂线不一定互相平行。
两条平行的直线若被第三条直线所截，则同位角相等，同旁内角互补。
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，且对应边相等，那么这两条直线平行。
同一直线的垂线未必平行。
直线的垂线与斜线未必相交。
不相交的直线之间也有角度关系。
平行就是两条直线的夹角为零。
。。。。。。

关于黎曼几何
球面上，大圆（黎曼的直线）之外没有大圆（黎曼的直线）与之平行。这当然是对的、是真理。在球面上一个确定的大圆之外怎么可能还有大圆与之平行呢？显然是没有。所以黎曼是对的。但没有与大圆平行的大圆不等于没有与大圆平行的小圆，也不等于没有小圆与小圆的平行。我说的就是小圆与小圆、小圆与大圆的平行。

关于角的定义
大圆所围成的角是角，小圆所围成的角也是角。其大小都是用两面角的大小定义的。由于小圆可以与大圆平行，所以小圆所围成的角本质上也可以视为大圆所围成的角。例如，如下图所示，c和a为大圆，b为小圆。由于a为平行于小圆b的大圆，c与a所围成的角2与c与b围成角1是同位角，所以角1与角2是相等的。所以，我们可以视小圆所围成的角1与大圆所围成的角2是等价的。


图
关于内角和等于180度
如下图所示，设abc为球面上的三角形，这个三角形的三边所在的平面皆垂直于同一个平面。延长三角形的边ac到d，通过c画ab的平行线，由于同位角相等和内错角相等，所以球面上的三角形abc在c点的外角bcd等于两个内角的和，所以三角形abc的内角和为180度。

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关于内角和大于180度
如下图所示的三角形abc的内角和大于180度。这个三角形就是由三个小圆构成的。而且这三个小圆没有垂直于一个共同的直线（球面上的直线），如果这三个小圆都垂直于同一直线，那么三角形abc的内角和就会等于180度了。

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再谈小圆也是球面上的直线的道理
如下图所示，我们看这是相贯的两个球，其相贯线对于小球来说是大圆，对于大圆来说是小圆，那么请问，这个相贯线到底是直线呢？还不是直线呢？显然这个相贯线不可能又是直线，又不是直线吧？如果我们坚持大圆是直线，小圆不是直线，那么我们在这里就会陷入困境。而我说大圆小圆都是直线，我就不会陷入困境，我就可以解释得通。所以结论只能是小圆也是球面上的直线！

图
再一点，若地球是理想的球体，我们在北京这个地方向东画射线，那么这条射线走的一定是小圆，而不是大圆。为什么？因为向东只可以画小圆。而若在同一个地点，向北的方向画射线，则必然画的是大圆。所以，大圆和小圆都是直线。

圆是内角和为540度的三角形
球面上的圆其实是内角和为540度的三角形。如下图所示，因为AbC与AcBaC所构成的两面角是180度，AcB与AbCaB所构成的两面角是180度，BaC与BcAbC所构成的两面角也是180度。

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关于圆柱面上的直线
如下图所示，表面上看，圆柱面上的螺旋是曲线，但其实，它们是圆柱面上的直线。只是因为圆柱面的弯曲，它们才看起来不像是直线了。球面上的情况也是如此，虽然看起来大圆和小圆都是弯曲的，但其实它们是球面上的直线。它们的弯曲完全是因为球面弯曲的结果。它们不是真正的曲线。用平面去斜切圆柱面，得到的割线才是曲线。


图
到百度贴吧的几何吧中查看下文，是有图片的。
震惊，全新的公理，全新的几何

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三点决定一条直线。

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大圆弧构成的角是角，小圆弧或大小圆弧混合构成的角也是角。

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风花飘飘 发表于 2014-11-1 17:30
球面上哪来的直线？
只有弧线，而且一定是某个圆上的一段弧线。

你没学过球面几何吧？

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风花飘飘 发表于 2014-11-1 21:24
同一直线的垂线未必平行。

举个栗子？

你要注意，按这里说的是球面上的，而不是平面上的。

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