某三角形的三边长为 a,b,c ，证明：(a^2+b^2+c^2)^2＞2(a^4+b^4+c^4)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

a,b,c 為某三角形的三邊長, 證明 (a^2+b^2+c^2)^2 >2(a^4+b^4+c^4)

luyuanhong

kanyikan

原不等式等价于2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)>0
令a=y+z、b=z+x、c=x+y（x>0、y>0、z>0），
则不等式等价于2((y+z)^2(z+x)^2+(z+x)^2(x+y)^2+(x+y)^2(y+z)^2)-((y+z)^4+(z+x)^4+(x+y)^4)>0
展开整理后，等价于16xyz(x+y+z)>0，所以结论成立。
这个不等式太弱，连等号都取不到。

luyuanhong

谢谢楼上 kanyikan 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。