实数 a,b,c 满足 a+b+c=abc，证明 arctan(a)+arctan(b)+arctan(c)=kπ（k∈Z）

中国上海市 · 发表于 2014-11-15 22:13

本帖最后由 luyuanhong 于 2014-11-19 18:15 编辑

容易证明，当A+B+C=kπ时，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，那么，它的逆命题是否成立呢？即有三个实数a、b、c，当其满足条件a+b+c=abc时，是否有arctanA+arctanB+arctanC=kπ？

中国上海市 · 发表于 2014-11-16 10:25

噢，这题应该能成立，原来tan(A+B+C)=(tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC)/(1-tanAtanB-tanBtanC-tanAtanC)
所以这题中tan(arctanA+arctanB+arctanC)=(a+b+c-abc)/(1-tanAtanB-tanBtanC-tanAtanC)=0
所以arctanA+arctanB+arctanC=kπ应该能成立

luyuanhong · 发表于 2014-11-16 12:59

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实数 a,b,c 满足 a+b+c=abc，证明 arctan(a)+arctan(b)+arctan(c)=kπ（k∈Z）

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