a,b∈R ，问：使得 ax+by=1 与 x^2+y^2=50 仅有整数解的 (a,b) 有几组？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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题  a,b∈R ，问：使得 ax+by=1 与 x^2+y^2=50 仅有整数解的 (a,b) 有几组？

解 在圆周 x^2+y^2=50 上，坐标为整数的点，有且仅有下列 12 个：

(7,1),(5,5),(1,7),(-1,7),(-5,5),(-7,1),(-7,-1),(-5,-5),(-1,-7),(1,-7),(5,-5),(7,-1)。

    直线 ax+by=1 与圆周 x^2+y^2=50 仅有整数交点，有下列两种情况：

（1）直线与圆周在上述 12 个整数点处相切，这样的直线有 12 条。

（2）直线与圆周在上述 12 个整数点中的两个整数点处相交，这样的直线有 C(12,2)=66 条。

    但是，在这 66 条直线中，有 6 条直线与圆周相交的两点关于坐标原点 (0,0) 互相对称，

例如 (7,1) 点与 (-7,-1) 点，连接这样两点的直线，必定会通过坐标原点，而通过坐标原点

的直线无法写成 ax+by=1 的形式，所以这样的直线不符合要求，应该舍去。

    由上面分析可知，符合要求的直线 ax+by=1 共有 12 + 66 - 6 = 72 条，也就是说，使得

ax+by=1 与 x^2+y^2=50 仅有整数解的 (a,b) 共有 72 组。