已知 sinx+cosx=1/2 ，求 sin3x-cos3x

luyuanhong · 发表于 2014-11-23 11:29

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

数学小不点 · 发表于 2014-11-23 13:30

据sinx+cosx=1/2得sinxcosx=-3/2,再据三倍角公式得：sin3x-cos3x=3(sinx+cosx)-4(sin^3x+cos^3x)=3/2-4(sinx+cosx)(sin^x2-sinxcosx+cos^x2)=3/2-4（1+3/2）1/2=3/2-5=-7/2=-3.5

数学小不点 · 发表于 2014-11-23 13:34

当然：(sinx+cosx)^2=sin^x2+2sinxcosx+cos^x2=1+2sinxcosx，先求出sinxcosx的值，然后代入进去计算即可。

数学小不点 · 发表于 2014-11-23 13:41

据sinx+cosx=1/2得sinxcosx=-3/8,再据三倍角公式得：sin3x-cos3x=3(sinx+cosx)-4(sin^3x+cos^3x)=3/2-4(sinx+cosx)(sin^x2-sinxcosx+cos^x2)=3/2-4（1+3/8）1/2=-5/4，刚才一步算错了，改过来！

数学小不点 · 发表于 2014-11-23 13:44

结论只有一个负值-5/4，正值是错误的。

luyuanhong · 发表于 2014-11-23 13:49

数学小不点 · 发表于 2014-11-23 13:51

如果代入正值5/4到含有三倍角公式的等式中，会得出sinxcosx=7/8,这显然是错误的！因为我们已经求出sinxcosx=-3/8了！

数学小不点 · 发表于 2014-11-23 14:14

就是这样，陆元鸿老师的解答是正着，非常规范严谨。

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