计算所有可能的 k 的值，使得 f(x)=x^3+(k+12)x^2+(43-k)x-56=0 的所有根为整数

luyuanhong

这是网友 问题多答案怪 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

moranhuishou

1、k=-28

moranhuishou

-43                                       

moranhuishou

由
56=1*2*2*2*7
即可得出全部整数解即全部k。

luyuanhong

希望 moranhuishou 能给出详细的推导过程。

moranhuishou

3次方程的标准式为
x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ac)x-abc=0
本方程的常数项为56=2^3*8
由此可得如下整解abc=
1*1*56
1*2*28
****

**

moranhuishou

3次方程的标准式为
x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ac)x-abc=0（a,b,c为3根）
本方程的常数项为56=2^3*8
由此可得如下整解abc=
1*1*56
1*2*28
1*4*14
1*8*7
2*2*14
2*4*7
共6种不重复（如4*2*7与最后一个重复）的组合。即可据标准式计算得出k,（此时若有k不为整数，则减去）

luyuanhong

谢谢楼上 moranhuishou 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

moranhuishou

k=
-70
-43
-31
-28
-30
-25

luyuanhong

k=-30 和 k=-25 都不是此题的解。