实数 x,y 满足 x/(2^10+5^3)+y/(2^10+6^3)=1 ，x/(3^10+5^3)+y/(3^10+6^3)=1 ，求 x+y

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

概率考

x/(2^10+5^3)+y/(2^10+6^3)=1……①,
x/(3^10+5^3)+y/(3^10+6^3)=1……②
有①、②得：
2^10x+6^3x+2^10y+5^3y=(2^10+5^3)(2^10+6^3)……③
3^10x+6^3x+3^10y+5^3y=(3^10+5^3)(3^10+6^3)……④
用④-③得：
（3^10-2^10)x+(3^10-2^10)y=(3^10+5^3)(3^10+6^3)-(2^10+5^3)(2^10+6^3)
                （3^10-2^10)(x+y)=3^20+3^10*6^3+3^10*5^3+30^3-2^20-2^10*6^3-2^10*5^3-30^3
               （  3^10-2^10)(x+y)=3^20-20^20+6^3（3^10-2^10）+5^3（3^10-2^10)
                 （3^10-2^10)(x+y)=(3^10-2^10)(3^10+2^10)+6^3（3^10-2^10）+5^3（3^10-2^10)
                 （3^10-2^10)(x+y)=(3^10-2^10)(3^10+2^10+6^3+5^3)
                                       x+y=(3^10-2^10)(3^10+2^10+6^3+5^3)/（3^10-2^10)
                                      x+y=3^10+2^10+6^3+5^3

概率考

解法2:构造2^10，3^10为关于t的方程x/(t+5^3)+y/(t+6^3)=1的两个实数根
可得方程x/(t+5^3)+y/(t+6^3)=1
将它化为二次方程一般形式
t^2+(5^3+6^3-x-y)t+……=0 （省略号的部分无关紧要）
根据根与系数关系
2^10+3^10=x+y-5^3-6^3
所以x+y=2^10+3^10+5^3+6^3

luyuanhong

谢谢楼上 概率考 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。