证明数列 {n^k} 的 k 阶差分为 k!

simpley

数列1^k,2^k,3^k-------(2k)^k，邻项相减第一次得到差：
2^k-1，3^k-2^k，------(2k)^k-(2k-1)^k
再把这些差相减，第二次得，3^k-2^k-（2^k-1）,   -----(2k)^k-(2k-1)^k-[(2k-1)^k-(2k-2)^k]

这样，经过第k次得到的各项差均等于k!

simpley

比如1^3,2^3,3^3,4^3,5^3,6^3
第一次得7,19,37,61,91
第二次得12,18,24,30
第三次得6,6,6=3!

elim

(j+1)^(k+1)-j^(k+1) = (k+1)j^k +C(k+1,2)j^(k-1)+...+C(k+1,k+1)
易见右边除首项外再作k次差分均为0，用归纳假设可见右边首项再作k 次差分得 (k+1)!
所以归纳地可证主贴结果。

simpley

elim 发表于 2014-12-16 08:10
(j+1)^(k+1)-j^(k+1) = (k+1)j^k +C(k+1,2)j^(k-1)+...+C(k+1,k+1)
易见右边除首项外再作k次差分均为0，用 ...

请能否详细地讲解一下

moranhuishou

“多年”也还是没把题目弄精，当简化为：

数列1^k,2^k,3^k-------(k+1)^k，邻项相减第一次得到差：
2^k-1，3^k-2^k，------(k+1)^k-(k)^k
...
这样，经过第k次得到k!

elim

simpley 发表于 2014-12-16 01:46
请能否详细地讲解一下

希望我讲清楚了差分运算及基本规则。现在可以考虑一下例 2 与主贴问题的关系....

malingxiao1984

这其实是“高阶等差数列”的基本性质，有兴趣可以用这个关键词找找相关资料。

数列的差分，与连续函数的微分有点类似，离散和连续的类比，两者之间类比可以得到很多有趣的结论，比如幂函数x^k的k阶导数是k!，对应的就是数列{n^k}的k阶差分是k!，幂函数x^k的原函数是x的k+1次多项式，对应的就是数列{n^k}的前n项和通项公式也是n的k+1次多项式。
当然这样的类比不限于幂函数，如果把对数函数更某个离散序列联系起来，也会得到一些神奇的结论，不过这就有点扯远了

simpley

风雪飘，会证费马大定理，解五次方程，从而自证了他是个沙比