从极限sinx/x=1,谈0做除数的情况&1/3是否=0.333...

ataorj

从极限sinx/x=1,谈0做除数的情况
x趋于0，则sinx/x趋于1，人们常记为sinx/x=1
这里的等号的使用是欠妥的.因为'趋于'的数学含义应该是无限接近之意,没'达到'之意.严格符号化表示应该是:x→0，则sinx/x→1.而'趋达'才是包含'达到'之意的.
实际上,这里真不存在具体的x能使得sinx/x=1.
sinx/x中,做为除数,x不能为0.但是,函数sinx/x的图像表明,图像在横坐标0的两边都分别是连续的,唯独0处断裂了它们的连接.在横坐标0的附近使得图像纵坐标接近1的事实,使得我们认为,x=0,使得sinx/x=1是顺理成章的.即,这时候0可以做除数,1/0=1.极限sinx/x=1中的等号就可回归其严格含义了[不过,这时已经没有趋向,而只有达到之意了].
0做除数时的具体商应该如上顺理成章般地因连续性等等而达成,不一定不同情况总是恒定唯一值.
这里,逆向也成立,有:1*0=1
用不太严格的话说就是,以后'需要' 0/x 或 0*x 等于什么,它们就等于什么了.
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上面是原文,其他楼层有更正,1/3是否=0.333...在9和18楼层谈起

ataorj

更正:以后'需要' x/0 和 x*0...

infind

0/0的结果是任意的，线性方程组的解证明了这一点。

elim

什么叫作除数，理解也很随意是吧？ 呵呵

ataorj

谢谢infind,再更正:
使得sinx/x=1是顺理成章的.即,这时候0可以做除数,0/0=1
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单独说x/0,可说其值无限,但是如果是具体问题,x/0可以是有所指的,这是主题的主要意思.
我这里只考虑了连续性下的应该性,具体问题时x/0可以唯一,也可能无限[这个还没见例子]?.
一旦碰到除数为0就需要对商图形做连续性分析是麻烦的.常规数学干脆采取了鸵鸟政策,不允许除数为0...
数学通常还讲究'一致性',商图形是否都有'连续性'可能...

ataorj

另注:这里没说除数为0总有意义.

ataorj

再更正:
这里,逆向也成立,有:1*0=0,这个是符合当前数学的,不论.
用不太严格的话说就是,以后'需要' x/0等于什么,它就等于什么了.

infind

ataorj 发表于 2015-1-20 11:06
再更正:
这里,逆向也成立,有:1*0=0,这个是符合当前数学的,不论.
用不太严格的话说就是,以后'需要' x/0等 ...

其实按照标准分析的哲学，应该这样理解：
f(x)=sinx/x 当x≠0
f(x)=1 当x=0
这样，就不用0做除数了。

ataorj

谢谢infind,很专业!但是使用了两个式子.我考虑以后人们唯一性解决的可行性...
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本主题还有一个有趣的地方,我过去没提.就是:
论坛有个主题,讨论1/2+1/4+1/8+...=1是否成立.
我说不成立,并且指出1/3+2/9+4/27+8/81+...和1/2+1/4+1/8+...的极限都=1.
但是它们本身并非=1.[它们其实是两类不同的数列点,不可能存在交集,不会相等]
这里类似,sinx/x极限=1,但是sinx/x永远不=1.
这些属于当前数学的一些表现...虽然例子可能不一定有普遍性

你猜猜看呐

ataorj 发表于 2015-1-20 16:19
谢谢infind,很专业!但是使用了两个式子.我考虑以后人们唯一性解决的可行性...
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本主题还有一个 ...

那也就没有规律性了？