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一个灵感让我得到一套算法

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发表于 2014-12-22 06:50 | 显示全部楼层 |阅读模式
对于一个Φp素数群来说,其全体元素不管是对于加法还是乘法,全部都是两两结对互逆的,也就是说对于同余方程x+y≡0(m0d p)和xy≡1(m0d p),不管x取群里任何一个元素,总可以找到二个元素为y,分别使得这两个同余方程都可以成立。于是一个灵感问我:是否可以找到一个元素为y,分别使得这两个同余方程也都可以成立?
对于这个问题,我首先发现,如果这个素数是一个p=4k+1形素数,g是它的一个原根,那么就有gk+g3k≡gk(1+g2k)≡gk(1-1)≡0(m0d p),gkg3k≡g4k≡1(m0d p)。这就是说,只有在p=4k+1形素数里,其原根g的gk和g3k,才会既是一对加法互逆元素,也是一对乘法互逆元素。
接着我又发现,如果将Φp素数群里的4k个元素,按照由小到大的顺序排列,并且将它划分成为2k^(1/2)个块,每块都是2k^(1/2)个元素。那么,gk或g3k对于第一个块里的2k^(1/2)个元素的乘积,其模p的余数必定会有一个,仍然落在第一块之内。这就是说,在第一个块里,必定存在一个元素a,使得agk≡b(m0d p),也是第一个块里的一个元素,那么则有:
a2+b2≡a2+(agk)2≡a2(1+g2k)≡0(m0d p),即有a2+b2=p。
由此得到了将一个p=4k+1形素数,分拆为二平方和的具体算法。当然,当一个p=4k+1形素数是一个较大数的时候,整个的运算十分庞大。不管是设法找到其最小的那个原根,还是设法在在第一个块里找到a和b,都是极其繁琐的。当然,若是运用电子计算机计算,还是十分快捷的。
据说有人在一块,被称为“普林顿322”泥板上,破译出了十五组勾股数,其中的一组为x=12709,y=13500,z=18541。这块泥板,现存于美国哥伦比亚大学图书馆。今天我们即使运用电子计算机,要想将185412=343768681,拼成两个数的平方和,也不是那么容易就可以办到的事情。那么,古巴比伦人运用手工笔算能拼出这一组勾股数吗?除非他们真的得到过外星人的帮助。
正是根据这套算法,我在“表一素数幂为二平方和的探究”里给出,对于一个p=4k+1形素数来说,其r次方可以拆分为二平方和的数量是,当r是偶数时为r/2对,当r是奇数时为(r+1)/2对。正是由于我早就掌握了这套算法,所以我能立即看出高斯的二平方和表法公式是错的。倪则均,2014年12月22日。
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