关于二次互反律的证明问题

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据说欧拉早在1751年，就已经发现了二个奇素数之间的二次互反关系，或许这是他通过大量的实际演算，所认识到的一种奇异规律。但是他在1783年却说，他是从1772年才开始研究这个二次互反律的，这是他在临终前所说的呓言臆话。二次互反律是指：（Ⅰ）如果p和q是两个不同的4k+1形素数，那么当p是q的二次剩余时，q必定也是p的二次剩余；当p不是q的二次剩余时，q则必定也不是p的二次剩余。（Ⅱ）如果p和q是两个不同的4k-1形素数，那么当p是q的二次剩余时，q必定不是p的二次剩余；当p不是q的二次剩余时，q则必定是p的二次剩余。（Ⅲ）如果p和q之中一个是4k+1形素数，一个是4k-1形素数，那么情况与（Ⅰ）完全相同。
现在一般数学书上都认为，对于二次互反律严格完备的证明是高斯首先给出。高斯一共给出过八个证明，实际上运用了六种不同的方法。高斯以后，还有许多的数学家，仍在不断地给出他们不同的证明，现在大概至少已有五十种以上的不同证明。由于笔者只是一个业余数学爱好者，无法看到高斯等人对于二次互反律的具体证明，因此不知道他们的证明，是不是真的已经十分严格完备了。我只是在陈景润的《初等数论（Ⅲ）》上，看到了陈景润对于二次互反律的证明。陈景润证明的最后部分给出了下面的等式（42），详见第66页。

由于等号左端的两个数都是奇数，所以这两个数的和为偶数，然而，对于等号右端的乘积来说，若是p和q都是4k-1形素数，那么其积为奇，决不可能为偶，因此等式（42）根本就不能成立，令人吃惊的是，陈景润居然证明了这个等式的成立。不知高斯的八个证明，以及其他那些数学家们的诸多证明之中，是否确有非常严密的证明，希望这方面的专家能不吝指教。倪则均，2014年12月24日。