已知实数 a＞1 ，b＞1 ，c＞1 ，求 a^5/(b^3-1)+b^5/(c^3-1)+c^5/(a^3-1) 的最小值

luyuanhong · 发表于 2014-12-29 08:01

本帖最后由 luyuanhong 于 2015-1-5 22:52 编辑

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

ans: (5/2)^(1/3)

0-1110 · 发表于 2015-1-6 12:37

不会做~~~~~~~~~
a>1,求a^5/(a^3-1)的最小值也不会做，
只晓得a=2.5^(1/3)时确实使a^5/(a^3-1)最小，
期待网友给出

moranhuishou · 发表于 2015-1-13 19:00

先给出最小值吧：9.5244063...

moranhuishou · 发表于 2015-1-13 19:03

答案应该是a=b=c=2^(1/3)

moranhuishou · 发表于 2015-1-13 19:13

证明：3个加数项完全对称，所以只须考虑一个加数项即可。显然，分子越大各项的值越大（因为分子是5次的而分母是3次的），而分母<1时各项值同样越大，所以分母最小可取1.即有
a=b=c=2^(1/3)
计算得最小值=9.5244063118091968485102338356338（无理数）

0-1110 · 发表于 2015-1-14 11:19

楼上有错

0-1110 · 发表于 2015-1-21 10:33

哎，补充完整，与楼主提供的答案不符~~~~~~~

luyuanhong · 发表于 2015-1-21 10:58

谢谢楼上 0-1110 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

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