a1+a2+…+a40=40，a1^2+a2^2+…+a40^2＞100，试证 a1,a2,…,a40 中有四数之和大于 10

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

moranhuishou

证明一下吧——

题：

a1+a2+…+a40=40，a1^2+a2^2+…+a40^2＞100，试证 a1,a2,…,a40 中有四数之和毕大于 10
题等同于：若其中最大的四数之和不大于 10，则
a1+a2+…+a40=40
a1^2+a2^2+…+a40^2<=100

证明
先给一引理：
若b=>c为2正实数，设b-c=r,(r=>0),则r的值大小与b^2+c^2的值成“正比”。（证略）
仅举一例：0^2+8^2=64, 1^2+7^2=50,2^2+6^2=40,3^2+5^2=34, 4^2+4^2=32.
此引理显然可以推广至n个实数。


依序设定
a1<=a2<= a3<=…<=a40
显然，后4个为其中最大。

先考虑a37+a38+ a39+a40=10的情况：

为了使得
(a1)^2+(a2)^2+…+(a36)^2达到最大值，显然由引理，(a36^2)必须尽可能大，相应a37也必须尽可能大，但因为a37>2.5时，必有a37+a38+ a39+a40>10

所以此时只能有
a37= a38=a39=a40=2.5
a37+a38+ a39+a40=10
(a37)^2+( a38)^2+(a39)^2+(a40)^2=4*6.25=25

这时我们自然可以任意分配使得
a1+a2+…+a36=40-10=30
然而为使得a1^2+a2^2+…+a36^2达到最大值，由引理，最佳分配方案同样应为
a36，a35，依次=2.5
但我们如果分配数=12，即有
（a36）^2+…+(a25)^2=75
刚好有25+75=100。

但此时还有a1,a2,…,a24诸数只能为0，而0不是正数。所以最多只能分配11个数=2.5，即有
（a36）^2+…+(a26)^2=68.75

显然，余下的一个2.5要分配给a1,a2,…,a25，且必须“个个有份”。很显然，无论怎样分配,均有
（a1）^2+…+(a25)^2<6.25

如果“分配方案”为最优化（让a25逼近2.5），可使得（a1）^2+…+(a25)^2无限接近6.25.

综上
a1+a2+…+a40=40，a1^2+a2^2+…+a40^2小于但最接近100的时候， a1,a2,…,a40 中有四数之和等于10。
而若使得a1+a2+…+a40=40，a1^2+a2^2+…+a40^2>100，则必要条件就是A36>2.5，此时A37也必需大于2.5，这时至少必有
a37+a38+ a39+a40>4*2.5=10
所以，当a1+a2+…+a40=40，a1^2+a2^2+…+a40^2＞100， a1,a2,…,a40 中有四数之和必大于 10。
证毕。

luyuanhong

谢谢楼上 moranhuishou 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。