谈“中国的数学问题解决”中的若干问题

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谈“中国的数学问题解决”中的若干问题
天津市塘沽一中 谢 平
1、背景
1.1 问题的提起
  文[1]正式提出、分析、讨论了“中国的数学问题解决”，指出中国解题教学的特点是：
  （1）注重研究数学解题思维过程。
  （2）强调数学方法论研究。
  （3）提倡数学解题策略研究。
  （4）应用题、数学建模教学研究。
  （5）开放题、情景题的教学研究，及其在考试中的大规模运用。
  顾泠沅研究员就中国数学教学存在的问题形象地指出：学习数学要吃“三个馒头”，前两个馒头是基本概念和基本规则，最后一个馒头是“创造性的问题解决”。西方教育认为第三个馒头重要，只吃第三个馒头，那些没有吃前两个馒头的大多数学生就吃不饱了，于是数学考试成绩很不理想。中国数学教学则老是吃前两个馒头，结果也是吃不饱，虽然大多数人都能吃个半饱，在国际教育考试中成绩不错，可是长期缺乏“创造性思维”的培养，在国际间的创造性科学竞争中就处于落后地位。
  第三次全国教育工作会议指出：深化教育改革全面推进素质教育的重点是“培养学生的创新精神和实践能力”，这与创造性的问题解决密不可分。
  严士健先生指出：“教材应该结合日常生活及其他领域中的问题，举出更好的例子，更好的习题，以使学生体验数学与生活的联系，训练学生应用数学分析问题解决问题的能力。更重要的是要让学生具有应用数学的意识，真正认为数学有用，知道哪些生活、学习或生产问题可以用数学来解决。”（文[2]）数学家们的见解将对数学应用教育产生现实而深远的影响。
  坚冰已经打破，方向已经指明，然而素质教育----作为基础教育的理想与追求----的真正实施仍需我们所有教育工作者付出艰苦的努力，包括实现自我观念上、知识上、技术上的转变与更新，包括我们坚持不懈的努力与实践。
1.2 历史与现状
1.2.1 缘起和国际上的反响
  美国数学教师协会（NCTM）1980年4月在文件《关于行动的议程》中强调：“必须把问题解决（Problem Solving）作为80年代中学数学的核心。”紧接着，英国的“Cockcroft报告”也指出“数学教育的核心是培养解决数学问题的能力，强调数学只有在能应用于各种情况下才是有意义的。”问题解决的教学模式迅速地为各国的数学教学工作者所接受。在数学教育史上，还从来没有一个口号，象“问题解决”这样得到热烈的反响和众多的支持。英国著名的SMP教材系列中，有一册就叫《问题解决》，供16--19岁的学生学习。日本从1994年开始全面实行新数学教学大纲，已把“课题教学”列入大纲内容，所谓“课题教学”，就是以“问题解决”为特征的数学课（文[3]）。1996年召开的第8届国际数学教育大会上，各国确立的未来数学课程目标的共同特点是：（1）帮助学生树立正确的数学观；（2）培养学生基本的数学素养；（3）帮助学生提高数学思维能力；（4）培养学生应用数学解决问题的能力，以及利用数学模型解决一定的实际问题的能力。（文[4]）1.2.2 国内状况美国的信息很快被介绍到中国，我国许多知名的数学家、数学教育家和众多数学教育有识之士，利用各种机会极力倡导“中国的数学问题解决”。我国在数学应用上本来就有优良的传统，如算经十书中的《九章算术》就是由九大类246个应用问题组成的。从1992年开始我国举办全国大学生数学建模竞赛，每年1次。1993年北京市数学会举办首届“方正杯”中学生数学知识应用竞赛，至今坚持举办。1993年6月，《数学通报》发表严士健、张奠宙、苏式东的联名文章《数学高考能否出点应用题》（文[5]）。1993年、1994年数学应用仅在选择题和填空题中进行考查，从1995年起连续5年在解答题中命制了应用题。特别是1999年大大增加了考察数学应用的力度，1993年，《中学数学问题集》问世，1996年全日制普通高级中学数学教学大纲（新）正式颁布，进一步强调“逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力”。从1997年秋天开始，新编高中数学（试验本）在江西、山西、天津两省一市正式使用，新教材精简更新教材内容，增加了线性规划、平面向量、概率统计、微积分初步，强调理论联系实际，例题习题均增加了联系实际的内容，如数列中联系经济生活中的储蓄，直线和圆的方程中增加线性规划初步知识，圆锥曲线中联系行星卫星的运行轨道等，概率统计与微积分本身就是联系实际非常密切的内容，另外增加了3个实习作业。“教什么永远比怎样教更重要”。新大纲设置的“立体几何向量化处理没有得到响应，说明改革的路还很长”。（文[1]） 有了正确的理论，并不等于就有了正确的实践。建设高质量的教师队伍，是全面推进素质教育的基本保证，我们教师自身观念、知识、方法和技术的转变与更新已到了紧要的时刻。2、更新观念 恩格斯深刻地指出：“一个民族要想站在科学的最高峰，就一刻也不能没有理论思维” 。（文[6]）
2.1 数学观
  什么是数学？早在100多年前，恩格斯精辟地指出：“数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。”这一论断至今“大体上还是恰当的”（文[7]）。过去人们常以为数学只是自然科学的一个分支，按照钱学森院士的观点，数学是独立于自然科学和社会科学的一门科学（文[8]）。随着计算机与数学的联姻，“今日数学已不仅是一门科学，还是一种普适性的技术”，“它兼有科学与技术的两种品质，这是其他学科所少有的”（文[7]）。从数学所属的工作领域看，数学是技术，是逻辑，是科学，是艺术，是文化；从数学的对象看，数学研究计算，研究数和量，研究现实世界的数量关系和空间形式，研究模型，研究结构；从数学的社会价值看，数学是语言，是工具，是框架，是符号游戏等等（文[9]）。
  数学的特点是“内容的抽象性，应用的广泛性，推理的严谨性和结论的明确性”；当代数学的三个新的特点是“数学内部各分支间的相互渗透，数学与其他科学间的相互渗透，电子计算机的出现。”（文[7]）
  由以上对数学及其特点的理解，在中学数学教育中强调数学应用，道理已经不言自明。
2.2 思维观
  思维有不同种类。按思维的形态不同，主要可分为形象思维与抽象思维，二者都反映事物的本质。数学中强调的数形结合的思想方法意即把两种思维完善地结合起来。
  按思维探索问题的方向的不同可分为收敛（求同）思维与发散（求异）思维，如一题多解体现了思维的发散，而解决多种背景的数学问题则体现了思维的收敛，这两种思维的交替运用，有利于数学真理的发现与证明。
  按思维逻辑性的不同可分为逻辑思维与非逻辑思维。逻辑思维固然很重要，但“数学创造主要不是靠逻辑，逻辑演绎只是同语反复，出现一个个重言式，你要创造，必须提出新的概念，添加新的对象，创立新的方法，只在逻辑圈里打转不会有新东西出来”（文[10]）。非逻辑思维往往体现为直觉与顿悟，常表现为创造性思维。
  按思维过程等不同可把逻辑思维分为形式逻辑思维与辩证逻辑思维，后者按辩证法思维。在数学中离不开辩证法，比如在微积分教学中，如果没有辩证法则寸步难行。
  在教学过程中，容易重视抽象思维、收敛思维、逻辑思维及形式逻辑思维，而忽视形象思维、发散思维、非逻辑思维和辩证逻辑思维。以上各种思维的有机结合，是数学教育的追求与方向。
2.3 方法观
  数学思想是“对数学事实与数学理论的本质认识”（文[11]）。数学基本思想，如数形结合的思想，函数与方程的思想，化归的思想，分类讨论的思想等是“体现或应该基本体现于基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果”（文[11]）。
  什么是解题策略？“解题策略是指探求数学问题的答案时所采取的途径和方法，其方法是有层次性的，解题策略是最高层次的解题方法，是对解题途径的概括性的认识”（文[12]）。
  华罗庚先生指出：“取法乎上得其中，取法乎中得其下。”在数学问题解决中，数学教师不能满足于只会做题（尽管这已不容易），还应研究解题的方法；不仅要研究具体的解题方法，还要研究解题的思想方法和策略，这样在数学问题解决中才能有思想，有策略，有方法，高屋建瓴，得心应手。
3、数学问题解决
3.1 问题和问题解决
3.1.1 什么是问题
  “问题可以是现实的或纯数学的”（文[13]）。“数学问题应如何定义，尚无统一的看法，大体说来，有以下特点：一是“非常规”，二是“重视情景应用”）三是“探究性”（文[3]）。所以一般说来，数学问题是具有探究性的实际应用问题或纯数学问题。
3.1.2 什么是问题解决
  关于问题解决，“数学教育界有六种不同的提法”，现在它已发展成“一种带有全局性的教学模式”（文[3]）。问题解决的教学模式，以问题为中心组织教学，学生在一个充满问题的未知领域内，通过问题的不断提出，不断探索，不断解决，学习数学知识，提高解决问题的能力。
3.2 提出问题的意义与原则
3.2.1 提出问题的重要性
  “问题是数学的心脏”。爱因斯坦指出：“提出一个问题，往往比解决一个问题更重要。”李政道在中国科技大学讲过，一个人读书，在中小学阶段是老师提问题要你回答，大学你提问题要老师回答，大学毕业以后，是自己提问题自己回答，这就是说，所谓科学研究的能力，也就是使自己能提出问题并由自己去解决的能力，也就是科学创造的能力。比如欧拉由哥尼斯堡七桥问题开“图论”之先河，希尔伯特在1900年提出的23个数学问题已影响了整整一个世纪，并将继续产生深远的影响。
3.2.2 选择设计实际应用问题的原则
  科学性，探索性，贴近学生的学习（相关学科）与生活，以已知知识结构为依托，易于变化为新问题，数学美。
3.3 选择设计实际应用问题的途径和方法
3.3.1 数学建模
  数学建模从现实世界提取信息，将实际问题转化为数学问题，由数学问题的解，转化为实际问题的解，其思想及操作框图如下：

  常见的数学模型有自然模型，社会模型，经济模型，物理模型，化学模型，生活模型；就数学内部而言，代数问题可有几何模型，几何问题可有代数模型等等。
  新教材引入了较多的应用问题，值得我们在教学中充分发挥其价值，联系实际，推广引申。这是我们选择使用应用题的首选，但仅此是远远不够的。
  华罗庚先生在评价祖冲之的治学方法和精神时，指出他从小就“专攻数术，搜炼古今”。“搜炼古今”仍是我们选择及编写数学应用问题的取之不尽、用之不竭的源泉及方法。如以下数例，是笔者主要由近期报刊资料编写的。
  （1）Zeno悖论，可用无穷等比数列求和的知识与方法来反驳。
  （2）新华社太原10月14日电，当日11时16分，我国太原卫星发射中心用“长征四号乙”运载火箭，成功地将中国和巴西联合研制的“资源一号”地球资源卫星送入轨道高度为778公里的太阳同步轨道（《人民日报》1999年10月15日）。试问在此高度，该卫星对于地球的观测面积为多少？
  （3）我国从1999年11月5日起，对储蓄存款利息所得，按照每次取得的利息全额计征利息所得税，计算公式为：应纳税款＝利息全额×税率（税率为20%）。对1999年11月1日以前存入款项所产生的利息，不征税。某储户1998年11月13日存入银行一年期存款30000元，年利率为4.77%，存款到期日即1999年11月13日把存款全部取出，求应纳利息税款应为多少？（《人民日报》1999年10月20日）。
  （4）美国和其他国家一样，每年汽车要交一次牌照税，收据上除了年份还有月度。难道车牌每月都要交一次税吗？不是，原来收据上的月份是车主的出生月份，规定当年的车牌税必须在车主出生月份去办理。（《南方周未》1999年10月29日）．试从概率论的角度分析这样做的好处。
  （5）20世纪是世界人口增长率最快的一段时期，联合国人口基金组织把1999年10月12日定为世界60亿人口日并预测到2013年将达到70亿，2028年将达到80亿，2054年将达到90亿（《人民日报》1999年10月12日）。请对未来约半个世纪的世界人口增长率做出分析，并制出图表说明。
3.3.2 背景问题的提出和解决
  数学内容及其方法一般具有种种不同的实际背景。纯数学问题往往可还原为背景问题，并可用纯数学问题的数学解去解释背景问题的解。这意在加强数学问题解决的另辟蹊径往往为人们所忽视，其思想及操作框图如下：

　
  这一思想及操作过程与数学建模相辅相成。另外，背景问题的解也往往有助于得到纯数学问题的数学解，如以下数例：
  （1）美国1982年一次有83万中学生参加的全国性初级学习能力测验有一道题为：一个三棱锥与一个四棱锥，棱长都相等，问它们重叠一个侧面后，还有几个暴露面？
  对上面这个问题，出题者给出的标准答案是还有7个暴露面，然而中学三年级学生、18岁的丹尼尔的答案却是5个暴露面。这个问题至少有建筑学上的意义。请问如上形状的两个建筑框架，能拼成几面体的建筑结构？
  （2）已知函数，则其导数为。为常数。试寻求其背景。
  实际上，上边为作简谐振动物体的运动方程，而为其速度方程。
（3）试寻求极限及的几何意义。
实际上，前者可表为定积分，它表示以1为边长的等腰直角三角形的面积。后者可表为定积分，它表示抛物线与轴及直线所围成的曲边三角形的面积。
（4）试寻求组合数性质的一个实际背景。
如从编号由1到的个班级中，选出个优秀班集体，有多少种选法？
由组合定义，可知有种选法；又选出的班级中有1号班的选法为，无1号班的选法为，所以，。
（5）可有以为基数，以为平均增长率（或减少率），以为时间的许多不同的实际经济背景。
4、教师是关键
  教师从观念到知识、方法、技术的更新及敬业精神是搞好数学问题解决教学的关键。笔者曾看到在上海召开的素质教育研讨会的报导，题目是：素质教育----基础教育的理想与追求，想到多年来在“中国的数学问题解决”中做出贡献的无数数学教育界同仁，我们理应为培养21世纪新人而奋斗！
参考文献
1、张奠宙执笔 数学教育高级研讨班纪要 数学教育学报，1999.2。
2、现代数学及其对中小学数学课程的影响 数学家座谈会纪要 数学通报，1999.11。
3、张奠宙 国际上“数学问题解决”教学的历史与现状 中学数学问题集 国家教委基础教育课程教材研究中心编，1993。
4、王林全 数学教育的机遇与挑战 数学通报，1996.11。
5、严士健、张奠宙、苏式东 数学高考能否出点应用题 数学通报，1993.6。
6、马克思恩格斯全集第20卷，第384页。
7、王梓坤执笔 今日数学及其应用 数学通报，1994.7。
8、钱学森主编 思维科学 上海人民出版社，1986。
9、胡作玄 数学与社会 湖南教育出版社，1991。
10、张奠宙、郑正亚 数学教育争呜十题 数学教育学报，1995.3。
11、蔡上鹤 数学思想和数学方法 中学数学，1997.9。
12、戴再平 数学习题理论 上海教育出版社，1991。
13、丁尔升 再谈面向新世纪的数学课程 数学通报，1994.2～3。