实数 a,b,c,d∈[1/2,2] ，abcd=1 ，求 (a+1/b)(b+1/c)(c+1/d)(d+1/a) 的最大值

luyuanhong · 发表于 2015-1-18 18:34

这是网友问题多答案怪发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

moranhuishou · 发表于 2015-1-18 20:32

一个“极端”是两个2两个1/2,答案=6.25
l另一“极端”
a=b=c=d=1
最大值2^4=16。
凭“直觉”应该是后者。

wangyangke · 发表于 2015-1-19 16:12

本帖最后由 wangyangke 于 2015-1-19 10:30 编辑

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wangyangke · 发表于 2015-1-19 19:22

本帖最后由 wangyangke 于 2015-1-19 11:26 编辑

烦请师长纠错——

moranhuishou · 发表于 2015-1-19 20:08

看来楼上是对的，我看错了。

kanyikan · 发表于 2015-1-19 20:13

本帖最后由 kanyikan 于 2015-1-19 12:18 编辑

当abcd=1，且a≥b≥c≥d时，bc≥da并不一定成立，如a=3、b=2、c=1/2、d=1/3。

wangyangke · 发表于 2015-1-20 06:43

谢谢kanyikan指出：“a≥b≥c≥d时，bc≥da并不一定成立”；a，b，c，d在1/2,2的条件没有用上，我的解答有问题。

kanyikan · 发表于 2015-1-20 10:16

等陆教授的解答吧。

elim · 发表于 2015-1-20 11:56

hint: (a,b,c,d) = (1/2,1/2,2,2) → (a+1/b)(b+1/c)(c+1/d)(d+1/a) = 25

假定 1/2 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ 2 证明 d < 2 时所论积还随 d 增大，所以 d = 2, 问题简化成

abc = 1/2, 求 (a+1/b)(b+1/c)(c+1/2)(2+1/a) 的最大值...

fungarwai · 发表于 2015-1-20 18:05

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实数 a,b,c,d∈[1/2,2] ，abcd=1 ，求 (a+1/b)(b+1/c)(c+1/d)(d+1/a) 的最大值

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