多次方程问题求助

shuxuestar

如题：

shuxuestar

此方程为一应用数学方程，我一直没能解出，请陆老师和各位高手帮忙.

luyuanhong

这是一个关于 cosθ 的五次方程，当 a,b,c 取特殊值时，有可能求得精确解。

例如，当 a=b=c=1 时，可以求得下列精确解：

θ=180° ，θ=120° ，θ=144° ，θ=72°。

但是，当 a,b,c 为一般的复杂数值时，看来无法用解析式给出简单的精确解。

对实际问题来说，如果有 a,b,c 的具体数值，可以用数值方法求 θ 的近似解。

shuxuestar

谢谢楼上解答，看起来解方程很麻烦,我想得出简单解析公式看来很难了.

drc2000

shuxuestar 发表于 2015-1-24 16:54
谢谢楼上解答，看起来解方程很麻烦,我想得出简单解析公式看来很难了.

以下结论未经过详细推导，不保正确：

由于此方程存在着某种“对称性”，故此方程也许可得到某些公式解。

具体方法是：令y=x+1/x，其中x=cosθ，将五次方程化为四次或三次。

shuxuestar

drc2000 发表于 2015-1-24 22:48
以下结论未经过详细推导，不保正确：

由于此方程存在着某种“对称性”，故此方程也许可得到某些公式 ...

请详细指教，谢谢！

drc2000

shuxuestar 发表于 2015-1-25 01:31
请详细指教，谢谢！

shuxuestar先生，今天我仔细推导了一下，发现不存在那种所谓的“对称性”，故六楼所叙述方法不成立。特表对不起。

shuxuestar

drc2000 发表于 2015-1-25 11:08
shuxuestar先生，今天我仔细推导了一下，发现不存在那种所谓的“对称性”，故六楼所叙述方法不成立。特表 ...

没关系，可以多方法试试,共同研究進步.我认为應該有巧妙的方法可解题.

shuxuestar

数学家必知的定理:  阿贝耳定理:五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法
（即由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根的方法）


      阿贝尔首次作出了一般的五次方程用根式不可解的正确证明．

更详细的证明，于1826年发表在克雷尔杂志第一期上．题目为“高于四次的一般方程的代数解法不可能性的证明”．在这篇论文中，阿
贝尔讨论并修正了鲁菲尼论证中的缺陷．鲁菲尼的“证明”缺乏域的概念，所以不可能在由已知方程的系数所确定的基础域及域的扩张下
进行工作．另外，鲁菲尼“证明”中还用到了一个未加证明的关键性命题，后称阿贝尔定理．该定理说，如果一个代数方程能用根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式，一定可以表成方程诸根及某些单位根的有理函数．
阿贝尔就是应用这个定理证明高于四次的一般方程不能有根式解的．
上面所说的阿贝尔定理，也就是“置换群”的思想。
    他在进一步思考哪些方程（比如x^n-1=0)才可用根式解的问题的时候，阿贝尔证明了下述定理：对于一个任意次的方程，如果方程所有的根都可用其中的一个根有理地表出(我们用x表示)，并且任意两个根Q(x)与Q1(x)(这里Q，Q1均为有理函数)，满足关系QQ1(x)=Q1Q(x)，那么所考虑的方程总是代数可解的．或者说，根xi=Q1(Xi)，Q2(Xi)，…，Qn(Xi)是根x1，x2，…，xn的一个置换．方程根进行这样置换的个数是n．阿贝尔考虑并证明了这些置换的性质，这就是“置换群”。阿贝尔遗作中有一篇值得深入研究的未完成的手稿，即“关于函数的代数解法”(Sur la résolution algébrique des fonctions，1839)．文中叙述了方程论的发展状况，重新讨论了特殊方程可解性的问题，为后来E·伽罗瓦(Galois)遗作的出版开辟了道路．在前言部分，阿贝尔暗示出一种重要的思维方法，他认为解方程之前，应首先证明其解的存在性，这样可使整个过程避免“计算的复杂性”．在代数方程可解性理论研究中，他还提出了一个研究纲领，就是在他的工作中需要解决两类问题：一是构造任意次数的代数可解的方程；二是判定已知方程是否可用根式求解．他试图全部刻画可用根式求解的方程的特性．但因早逝而没能完成这个工作，他只解决了第一类问题．
       几年后，伽罗瓦接过他的工作，用群的方法彻底解决了代数方程的可解性理论问题，从而建立了现在所谓的伽罗瓦理论．19世纪之前的300年间，数学家们一直为证明一元四次以上的方程是否有解而忙碌着，可惜他们不是望而却步，就是半途而废，没有一位能揭开这个结。1818年，挪威一位16岁的阿尔贝，在研究了前人的有关这一问题的大量资料后，坚定地对他的老师说：“让我来解答这一历史难题吧，我能证明四次以上的方程是否有解。”他凭着自信，聪明和勤奋，花了六年的时间，给了历史一个圆满的回答：一般高于四次的方程没有代数解。这就是著名的阿尔贝—鲁菲尼定理.