《半虚数及性质》

笑由最

                           半虚数及性质

   如果方程 x^2 = x*x = -1，则有 x 的两个根 虚数i和 负虚数-i。
这种虚数为整数虚数。

   如果方程 √x = x^(1/2) = -1，现代数学里则方程无解，x无根。
为了解决方程 √x = -1 无解的问题，必须定义新的虚数。

   定义半虚数：半虚数的平方根等于负一。
   这样方程 √x = -1 的根只有一个，半虚数。因为
    √-x = √-1 * √x = i*(-1) = -1*i
所以根只有一个，是半虚数。

   同样，可以定义N虚数：N虚数的N次方根等于负一。其实应该是1/N虚数，
由于整数虚数只有一种，所以称之为N虚数简便。

   由于负一的奇数次方根为负一，因此只存在为偶数的N虚数。
例如4虚数使得，4虚数4次方根等于负一。而3虚数则不存在。

   如果记 i(J) 为虚数，有

       i(2) 为虚数i，i^2=-1
       i(1/2) 为半虚数
       i(1/4) 为4虚数
       ......

如此等等。

   记i(1/2)的半虚数为j，有

       √j = -1

由于 x^0 = 1，因此，毫无例外地

       j^0 = 1

同时 j ≠ 1

也就是说

      (√j )^2 = (-1)^2 = 1

成立，但是 j ≠ 1。

   这个性质，是整数虚数i所不具备的不可分解性。是分数次虚数
所特有的。对于又整数虚数i构成的复数 a+i*b，它的任意次方，仍 是复数。而分数次虚数则不是。

   因此，是整数虚数是“发散”的，而分数次虚数是“凝聚”的。
   再则

      (√j )^(2n) = (-1)^(2n) = 1
      (√j )^(2n+1) = (-1)^(2n+1) = -1
      (√j )^(1/(2n)) = (-1)^(1/(2n))
      (√j )^(1/(2n+1)) = (-1)^(1/(2n+1)) = -1

因此：1/N次虚数的N次方根的偶数次方为1，奇数次方为-1或者是(2n+1)个复数。

     √(a+j*b) = - √(a-b)
     (a+j*b)^(1/(2n)) = (a+b)^(1/(2n)) * (-1)^(1/n)

j^2即j的平方应为多少？j^(1/3)、j^(1/7)应为多少？显然，这个计算是无法进行的， 只能规定

      j^n = 0
      j^(1/(2n+1)) = 0

所以 j^2即j的平方为零，j^(1/3)、j^(1/7)为零等等。

   根据以上规定，可以发现

       Exp(j) = 1+j
       Log(1+j) = j
       Sin(j) = j
       Cos(j) = 1
       Sinh(j) = j
       Cosh(j) = 1
       Tan(j) = j
       Tanh(j) = j
       (1+j)^(1/3) = 1
       (1+j)^(1/(2n)) = 1
       (1+j)^(1/(2n+1)) = 1
       1/(1+j)   = 1-j
       1/(1+b*j) = 1-b*j
       1/(a+b*j) = 1/a-(b/a^2)*j
       (a+b*j)^2 = a^2+2*a*b*j
       (a+b*j)^3 = a^3+3*a^2*b*j

对于i^2=-1的虚数，对于任意m，无论分数还是非分数，(a+b*i)^m的值， 仍然在任意分布的数域里。而对于半虚数，则不存在任意分布的数域， 只能在相当有限度的数域里，可以称这一“离散”的间断的特征为凝聚态。