x^2+y^2=a^2+2，1/x+1/y=a（1）当 a=0 时求方程的解（2）当方程有两组解时求 a 的范围

luyuanhong

这是网友 问题多答案怪 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

drc2000

解：（a）当a=0时，1/x+1/y=0，显然无解
（b）a≠0时，1/x+1/y=a为一支过原点的双曲线，
而x^2+y^2=a^2+2是圆心为原点且半径不小于√2的圆
因为双曲线其中一支与圆有两交点,若方程组的两组解,双曲线另外一支必须和圆无交点

...待续...

中国上海市

①a=0时y=-x   x^2+(-x)^2=2   2x^2=2     x^2=1      x1=1   y1=-1，x2=-1    y2=1

②1/x+1/y=a可化为(x-1/a)(y-1/a)=1/a^2      
   为以(1/a,1/a)为对称中心，直线y=1/a、x=1/a为对称轴，直线y=x、x+y=2/a为旋转后轴的双曲线
   而x^2+y^2=a^2+2是圆心位于的圆，由图可知，显然当圆半径(a^2+2)^(1/2)>1/a√2时有两解
a∈(-√2,√2)

luyuanhong

谢谢楼上 中国上海市 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

zhangzhong

luyuanhong:您好!
    能请你看看拙作"杰波夫猜想成立!(格点数论版)"吗?