回答网友“图论1943”的问题

雷明85639720

回答网友“图论1943”的问题
雷  明
（二○一五年三月八日）
（图请到《中国博士网》中去看）

网友“图论1943”2月24日给我提出了一个问题，让我解答，我没有发现，昨天该网友又留言摧促。不敢耽误，立即回复。
图论1943的问题是：兄弟：向你请教一个问题，有共具至少20个区域的平面区域集G.其中的A、B、C、D四个区域的关系是：ABC三个区域两两之间都有1条边界线，D和A及C的关系也是分别有一条公共边界线，B和D无公共点。已知G已能用4种色涂区了。若把A和C的关系改为无公共边了，而B和D之间有一条公共边了，其余关系不变。并把关系改变的区域集叫做H。问H也一定能用4种色涂区吗？若定能，问怎么证明一定能？若不定能，请举出例子来。后者为准!!谢谢！！
我按朋友说的画了一个图（如图），这是一个顶点无限多的图中的一部分，只有四个顶点A、B、C、D。已知G是一个用了四种颜色着色的图，对于顶点A、B、C、D来说有两种着色法，如a图和c图。
G若是着色为a图，则G变为H后的着色不改变任何顶点的颜色，如b图。若G的着色为c图，则G变为H后，首先把顶点D的颜色2取掉，把该顶点作为新的待着色顶点（图中用加大了的园点表示），然后再用坎泊的颜色交换技术空出颜色，对其进行着色。由于顶点D原已着色2，所以与顶点D相邻的顶点E只可能着1、3或4，如d图，图中顶点E着4。现分析如下：

图中当从顶点B到顶点E没有连通的2—4链时，既可以从顶点B开始交换2—4链，空出2给待着色顶点D着上（如图e），也可以从顶点E开始交换2—4链，空出4给待着色顶点D着上（如图f），图中仍只有四种颜色；
若从顶点B到顶点E有一条连通的2—4链，这时交换2—4链是空不出颜色的。但由于从顶点B到顶点E的2—4链的连通，并与待着色顶点D构成了一个环，所以该环一定把1—3链分成了互不相通的两部分，交换其中任一部分1—3链都可以空出颜色1或3，给待着色顶点D着上，如图g和h。图中仍然是只用了四种颜色。
朋友，看来你是用这个题目来巧妙的让我再用坎泊的颜色交换技术再对四色猜测再证明一次。不过我并不认为这就是证明了四色猜测是正确的，因为你说的这只是一种情况，别的情况能不能也都一定只用四种颜色，我还不能保证。所以我不主张用坎泊的颜色交换技术，用着色的方法证明四色猜测，而是要走不画图，不着色证明四色猜测的道路。你可以看看我的有关文章，我认为这种不画图，不着色证明四色猜测的道路是能行得通的。

雷  明
二○一五年三月八日于长安

此文已于二○一五年三月九日在《中国博士网》上发表过，网址是：