连续函数 f(x) 满足 f(f(x))=x ，f(0)=0 。试证 f(x) 单调，求 f(2018) 的取值范围

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

Future_maths

(1), 用反证法。如果f(x)是单调函数，那么对于任意的x1>x2>x3,就有f(x1)≥f(x2)≥f(x3) 或者,f(x1)≤f(x2)≤f(x3). 假设存在f(x2)>f(x1)及f(x2)>f(x1), 或者f(x2)<f(x1)及f(x2)<f(x1), 过(x1,f(x1)), (x2,f(x2)和(x3,f(x3))作平行于x坐标轴的直线与直线y=x分别交于( f(x1),f(x1)), (f(x2),f(x2)和(f(x3),f(x3))。由于f(f(x))=x, 所以这些交点也是(f(x1),x1), (f(x2),x2)及(f(x3),x3)
这样就有x2≥x1, x2≥x1或者x2≤x1, x2≤x3, 导致矛盾。

Future_maths

全是乱码。

Future_maths

（1）用反证法。图片发不出来，全是乱码。

luyuanhong

Future_maths

楼主在题目中并没有说严格单调，而只是说单调，这样不严谨吧。

luyuanhong

Future_maths 发表于 2018-7-13 15:46
楼主在题目中并没有说严格单调，而只是说单调，这样不严谨吧。

“严格单调” 的结论比 “单调” 更强，我证明了 f(x) 严格单调，自然也就证明了 f(x) 单调。

Future_maths

如果是单调，就会误导做题目的人，会走弯路。

liangchuxu

第一问能否直接用反函数来说明？