甲袋有两红球一黑球，乙袋有两红球，互相交换一球无穷多次后，求黑球在甲袋的概率

luyuanhong

题  甲袋有两红球一黑球，乙袋有两红球，互相交换一球无穷多次后，求黑球在甲袋的概率。

解  一般来说，我们有这样的结论：

    甲乙两个袋子，不管有几种球，不管初始状态如何，两个袋子的球，经过无穷多次交换后，

两个袋子中各种球的分布情况，必定与将两个袋子的球混放在一起时的分布情况一样。

    在本题中，将甲乙两人的球混放在一起，共有 5 个球，其中有一个是黑球，所以，如果从中

任意取一球，取到黑球的概率是 1/5 。

    但是，本题中的问题，不是求“任取一球取到黑球的概率”，而是求“黑球在甲袋的概率”。

    现在甲乙两袋共有 5 个球，相当于有 5 个位置，其中有一个位置放黑球。

    甲袋有 3 个球，相当于在甲袋中有 3 个位置。乙袋有 2 个球，相当于在乙袋中有 2 个位置。

    现在让黑球在 5 个位置中任意选一个位置，显然黑球选到在甲袋中位置的概率应该是 3/5 。

    也就是说，互相交换一球无穷多次后，黑球在甲袋的概率是 3/5 。

luyuanhong

题  甲袋有两红球一黑球，乙袋有两红球，互相交换一球无穷多次后，求黑球在甲袋的概率。

解  一般来说，我们有这样的结论：

    甲乙两个袋子，不管有几种球，不管初始状态如何，两个袋子的球，经过无穷多次交换后，

两个袋子中各种球的分布情况，必定与将两个袋子的球混放在一起时的分布情况一样。

    甲乙两袋的球混放在一起，共有 5 个球。

    从 5 个球中任意选 3 个放入甲袋，有 C(5,3)=10 种选法。

    现在要使得黑球在甲袋，也就是说，要使得甲袋中有 2 个红球和 1 个黑球。

    从 4 个红球中选 2 个放入甲袋，有 C(4,2)=6 种选法，从 1 个黑球中选 1 个放入甲袋，

有 C(1,1)=1 种选法，共有 C(4,2)C(1,1)=6×1=6 种选法。

    所以，互相交换一球无穷多次后，黑球在甲袋的概率是 C(4,2)C(1,1)/C(5,3)=6/10=3/5  。