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本帖最后由 abcd-efg 于 2018-9-12 09:36 编辑
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【费尔马大定理】不定方程
x^n + y^n = z^n ( 其中,x^n 表示 x 的 n 次方。其它的类似 ) (1)
在 n > 2 时,无正整数解。
【证明】假设 (1) 式有正整数解 x,y,z ,并且彼此互素。因为 z > y,所
以可设 z = y+a ( a > 0 ) 。由 (1) 式,可有
x^n = ( y+a )^n - y^n (2)
把 (2) 式右端按 n 次方差公式展开,可有
x^n = [ (y+a) - y ] [ (y+a)^(n-1) + (y+a)^(n-2) y +
+ (y+a)^(n-3) y^2 + … + (y+a)^2 y^(n-3) + (y+a) y^(n-2) + y^(n-1) ] (3)
因为 y+a > y,所以 (3) 式右端多项式中 n 个项之值,从左到右是逐项减小
的。把其中的值最大项 (y+a)^(n-1) 和 值最小项 y^(n-1),分别乘以 na,可有
na (y+a)^(n-1) > x^n > na y^(n-1) (4)
这样,根据 (4) 式,在 y+a 与 y 之间,必定存在一个数 k ( a > k > 0),使得
x^n = na ( y+k )^(n-1) (5)
分别把 (2) (5) 式右端按二项式公式展开,可有
x^n = C(n,1) a y^(n-1) + C(n,2) a^2 y^(n-2) + C(n,3) a^3 y^(n-3) +
+ C(n,4) a^4 y^(n-4) + … + C(n,n-1) a^(n-1) y + a^n (6)
x^n = na [ y^(n-1) + C(n-1,1) k y^(n-2) + C(n-1,2) k^2 y^(n-3) +
+ C(n-1,3) k^3 y^(n-4) + … + C(n-1,n-2) k^(n-2) y + k^(n-1) ] (7)
这里, C(u,v) = u ! / [ v ! (u- v) ! ] ( v = 0,1,2,… ,u ) (8)
因为 (6) (7) 式相等,并且其右端多项式中均有 n 个项,所以对于 y 来说,
两式相对应的各项系数和常数项,是分别相等的。因此,可有
C(n,1) a = na,C(n,2) a^2 = C(n-1,1) na k,
C(n,3) a^3 = C(n-1,2) na k^2,C(n,4) a^4 = C(n-1,3) na k^3 ,… ,
C(n,n-1) a^(n-1) = C(n-1,n-2) na k^(n-2),a^n = na k^(n-1) (9)
于是,在 n > 2 时,(9) 式中除 C(n,1) a = na 式以外,可分别有 n - 1 个式子。
在 n = 3 时,可有 a = 2k,a^2 = 3 k^2 。
在 n = 4 时,可有 a = 2k,a^2 = 3 k^2,a^3 = 4 k^3 。……
在 n = n 时,可有 a = 2k,a^2 = 3 k^2,a^3 = 4 k^3 ,… ,
a^(n-2) = (n-1) k^(n-2),a^(n-1) = n k^(n-1) (10)
可是,在 a = 2k 时,可有
a^2 = 4 k^2,a^3 = 8 k^3 ,… ,
a^(n-2) = 2^(n-2) k^(n-2),a^(n-1) = 2^(n-1) k^(n-1) (11)
因为(11) 式中各式所得之值,并不分别等于(10)式中相应各式之值,所以
要使 (10) 式中各式同时成立,只有在 a = 0 时才行 。这与假设 a > 0 相矛盾。
因此,费尔马大定理成立。
另外,该文的【附】和【注】,可直接到该博客中去查看!谢谢!
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