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已知向量 PA-2PB+3PC=0 ,向量模长 PA=3 ,PB=3 ,PC=√6 ,求四边形 PABC 的面积

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发表于 2018-7-11 11:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子,

欢迎大家一起来想想如何解答:


2018711683957140.gif
发表于 2018-7-11 17:59 | 显示全部楼层
为满足向量 PA-2PB+3PC=0,可在四边形 PABC中 延长长PC至D,使PD=3PC,以 PA、PC为邻边作平行四边形PAMD即可,则有三角形PAM的边PA=3、AM=3√6、MP=6。由余弦定理有cos∠PAM=1/4,即sin∠PAM=√15/4。同理,有sin∠BPC=√10/8。故两个三角形PAB与PCB的面积之和为3√15/2.
 楼主| 发表于 2018-7-11 19:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 luyuanhong 于 2018-7-11 19:40 编辑

谢谢楼上 波斯猫猫 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

楼上的解答没有配图,解答中也有一些笔误,所以我补充修改如下:


已知向量PA-2PB 3PC=0,向量模长PA=3,PB=3,PC=√6,求四边形PABC的面积.GIF

为满足向量 PA-2PB+3PC=0,可在四边形 PABC中 延长 PC 至 D ,使 PD=3PC,

以 PA、PC 为邻边作平行四边形 PAMD 即可,则有三角形 PAM 的边 PA=3、AM=3√6、MP=6。

由余弦定理有 cos∠APB=-cos∠APM=1/4,即 sin∠APB=√15/4。

同理,有 sin∠BPC=√10/8 。故两个三角形 PAB 与 PCB 的面积之和为 3√15/2.



发表于 2018-7-11 22:30 | 显示全部楼层
考虑的是凸四边形,且"由余弦定理有cos∠PAM=1/4,即sin∠PAM=√15/4"中的“∠PAM”应为∠APM。
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