已知向量 PA-2PB+3PC=0 ，向量模长 PA=3 ，PB=3 ，PC=√6 ，求四边形 PABC 的面积

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

波斯猫猫

为满足向量 PA-2PB+3PC=0，可在四边形 PABC中 延长长PC至D,使PD=3PC，以 PA、PC为邻边作平行四边形PAMD即可,则有三角形PAM的边PA=3、AM=3√6、MP=6。由余弦定理有cos∠PAM=1/4,即sin∠PAM=√15/4。同理，有sin∠BPC=√10/8。故两个三角形PAB与PCB的面积之和为3√15/2.

luyuanhong

谢谢楼上 波斯猫猫 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

楼上的解答没有配图，解答中也有一些笔误，所以我补充修改如下：



为满足向量 PA-2PB+3PC=0，可在四边形 PABC中 延长 PC 至 D ,使 PD=3PC，

以 PA、PC 为邻边作平行四边形 PAMD 即可，则有三角形 PAM 的边 PA=3、AM=3√6、MP=6。

由余弦定理有 cos∠APB=-cos∠APM=1/4，即 sin∠APB=√15/4。

同理，有 sin∠BPC=√10/8 。故两个三角形 PAB 与 PCB 的面积之和为 3√15/2.

波斯猫猫

考虑的是凸四边形，且"由余弦定理有cos∠PAM=1/4,即sin∠PAM=√15/4"中的“∠PAM”应为∠APM。