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本帖最后由 jzkyllcjl 于 2018-7-22 13:05 编辑
在数学中国网站上，Luyuanhong 教授贴出了 “阶乘的推广——Gamma函数” 主贴后，笔者表示欢迎的意见，后来2018年7月8号又,提出了 等式。(2.44861811105080......)！ = pi = 3.141592653...... 他的目的显然是为了肯定3.141592653......是个定数，反对笔者的无尽小数不是定数 以及我的以康托儿基本数列为基础的实数理轮。我向提出：①等式中的阶乘如何算？②式中2.44861811105080......代表的是无理数或有理数？这个无尽小数 是如何算出的？的问题，他没有回答。 为此，我只好查看菲赫金哥尔茨《微积分学教程》，然后以“Gamma函数的研究离不开唯物辩证法”为题，写了如下的短文。
首先应当指出： Gamma函数 被定义为含参变数 α的函数 x^(α-1)e^-x在区间（0。∞）的广义积分。记作Г（α）。其具体研究需要使用唯物辩证法，特别是需要使用无穷与有穷、精确与近似、理想与现实之间的相互依存的对立统一法则。具体事实有以下几点认识。
认识（1），由于无穷大+∞是非正常数，所以需要使用无穷依赖于有穷的方法，去理解这个广义积分， 即需要把这个积分上限的无穷大改写为任意大于0的有穷正实数A后，当积分存在，且这些积分当A→+∞时，有一个确定的有穷极限值时，这个极限值叫做Г（α）。
认识（2），按照认识（1），具体计算后，可以发现：当 α为0或负整数时，Г（α）无意义。对于其它有穷实数，这个函数有意义。但须指出：这个意义是对应的广义积分收敛，即 对任意小误差界，有足够大正数A存在，使在A到+∞的积分小于这个误差界。虽然Г（α）有意义有穷实数α是无穷多的，但一一计算出它们的函数值是做不到的，而且函数值是极限性的实数，这些实数值中有许多与1/3、π、√2一样，无法算出它们的绝对准十进小数表达式。所以，1779年出版的，数学手册编写组编的《数学手册》中使用无限依赖于有穷、精确依赖于近似的方法，只列出区间[1，1.999] 内1000个3位有尽位十进小数处的四位有尽位十进小数表示的近似函数值。这说明：α=√2 或其他无理数、有理数需要使用表中的近似十进小数去找出其函数值，而且这些地方的函数值也是用四位小数值近似表示的。现在计算技术提高了，精确位数可以提高，但绝对准的函数表仍然算不出来的，需要精确依赖于近似的方法。
认识（3），在绝对准计算方法下，可以算出等式Г（α+1）= αГ（α），得出两个阶乘性公式如下：
Г（α+n）=(α+n-1)( α+n-2)……(α+1) αГ（α） （1〈α≤2），……（1）
Г（α-n）=Г（α）/（α-1）（α-2）……（α-n）（1〈α≤2） ……（2）
使用前一个等式，与数学手册中的Gamma函数的近似数表，可以算出任意大于2的 有意义处的Gamma函数的近似值。使用后一个等式与数学手册中的Gamma函数 的近似数表，可以算出任意小于2的 有意义处的Gamma函数的近似值。这样计算之后,可以画出Gamma函数的函数图(参看菲赫金哥尔茨《微积分学教程》二卷三分册695页)。画图时,如果取1代表1个厘米,点为直径0.05毫米的圆，则上述手册上的数据已经够用了，点出的点具有重合部分，如果. 取1代表1公里,点为直径0.1毫米的圆，则上述手册上的数据是不够用的，点出的点之间距离太大，必须加密上述手册中的数据。虽然α=n处的函数值Г（n）可以准确算出，虽然数学手册中函数表的精确度可以提高，但其它α处的绝对准的Gamma函数值是算不出来的 必须使用近似计算。虽然可以算出 ，但π也需要使用十进小数近似表示。
虽然(1)(2)两个表达式具有阶乘的意义,，但使用这个这两个公式时，需要中止在已经算出的Г（α）上，不能无限制地阶乘下去。具体地讲：需要知道：第一，Г（1）是需要使用广义积分计算的问题，如果限制在阶乘方法上，只能得到Г（1）=0•Г（0）=0•∞的不定式，得不到应有的1；第二，对Г（3.44861811105080……），虽然需要写出阶乘表达式：
Г（3.44861811105080……）=2.44861811105080...... ×1.44861811105080.... ×.Г（1.44861811105080……）但到Г（1.44861811105080……）时，就需要使用已有的函数表中的近似值或广义积分计算这个函数值的近似值了（具体计算下边再讨论），不能无限地阶乘下去。
认识（4），上边几点说明了无限与有限、精确与近似、理想与现实对立统一法则的应用，对唯物辩证法还需知道“形式逻辑是逻辑的低级阶段，……。只有辨证逻辑才给研究提供了正确的因而也是强有力的武器”；“辨证逻辑则要求我们继续深入。要真正认识事物，就必须把握、研究它的一切方面，一切联系和‘中介’”[6]。为此，再指出：Gamma函数的自变数与函数值之间的对应关系不是一一对应的，不同的α可以有同一个函数值。即这个函数的反函数的定义域是（-∞，+∞）的多值函数，同一个函数值可以对应于不同的α。
有个网友，为了推翻我的认识与改革，他说：“jzkyllcjl(笔者在基础数学网站网上用名)确实缺乏最基本的计算能力，所以只会搞辩证唯物主义，伟人语录，哲学词典。但辩证唯物主义只能用于马克思主义国家，到了别的国人家根本就不认同辨证唯物主义”。他要求我解答“n是什么数的阶乘等于1/3？”，我回答他，任何自然数的阶乘都不等于1/3；他又提出“使Γ(x)=1/3，x=？”的问题，我曾給出他回答：“从Gamma函数图像上可以看出：在大于-3的实数集合中不存在这样的数，这个问题，需要通过许多近似计算，很麻烦；我要他自己算”但他指责笔者不懂数学，在网上胡扯，不会计算这个问题。我只好再进一步计算如下：首先查看上述数学手册中的函数表，发现最小函数值0.8856，对应α的取值区间为[1.452,1.472]，将上述阶乘性公式中的n取作5，可以算出在1.473处的（α-1）（α-2）……（α-5）的数值为：（1.473-1）（1.473-2）……（1.473-5）=0.473×0.527×1.527×2.527×3.527=3.39521, 于是使用数学手册中函数表得到：Г（-3.527）=0.8857/3.39521=0.260867 ，在1.451处的（α-1）（α-2）……（α-5）的数值为：（1.451-1）（1.451-2）……（1.451-5）=0.451×0.549×1.549×2.549×3.549=3.46957 , 于是Г（-3.549=0.8857/3.46957=0.25527 ，所以在区间[-3.527,-3]与区间 [-4，-3.549]内各有一个实数α的Г（α）等于1/3., 对于前一个区间，需要算出具有小数点后1位小数-3.4，-3.3，-3.2……等点上函数值后，找出1/3的反函数值在哪个长度小于0.1的区间上，经研究得到：-3.4处的函数值,需要使用表中α=1.6处的值算出。,此时，得到：，在Г（-3.4）=0.8935/（1.6-1）（1.6-2）……（1.6-5）=0.8935/0.6×0.4×1.4×2.4×3.4=0.8935/2.74176=0.32588 , -3.3处的函数值,需要使用表中α=1.7处的值算出。,此时，得到：，在Г（-3.3）=0.9086/（1.7-1）（1.7-2）……（1.7-5）=0.9086//0.7×0.3×1.3×2.3×3.3=0.9086/2.07207=0.43849，所以在区间[-3.4，-3,3]内 有一点函数值为1/3. 继续使用数学手册中的数据,可以算出Г（-3.39）=0.8947/（1.61-1）（1.61-2）……（1.61-5）=0.8936/0.61×0.39×1.39×2.39×3.39=0.8947/2.67921=0.333943， 所以得到在区间[-3.4,-3.39]内 有一点函数值为1/3, 将这个区间十等分，继续使用数学手册中的数据,可以算出分点-3.391处函数值为：Г（-3.391）=0.8946/（1.609-1）（1.609-2）……（1.609-5）=0.8946/0.609×0.391×1.391×2.391×3.391=0.8946/2.68552=0.333119 ,所以在区间[-3.391，-3,390]内 有一点函数值为1/3. 记区间L1=[-3.4,-3.39]为L1=[A1,B1], 区间L2=[-3.391,-3.390]为L2=[A2,B2],则这两个区间长依次为，0.01，0.001。区间左端点处函数值小于1/3，右端点处的函数值大于1/3。再将区间L2 等分为十等分，算出分点处函数值，得出区间内含有函数值1/3的长度0.0001 的区间，但这些分点处的函数值, 不能根据上述数学手册中的函数表算出,需要使用认识（1）说明的广义积分计算,计算时积分上限+∞,可以使用自然数 的数列取极限取极限计算。虽然积分值数列是收敛的，但分点α处函数值（即n→+∞的极限值）Г（α）也需要类似于上述函数表那样使用足够准十进小数近似表示。这样计算下去，就可以得出长度为 区间序列Ln, 根据区间套定理，这个区间套确定一个理想实数α，其函数值Г（α）=1/3。这个理想实数也可以写作针对误差界序列 的以十进小数为项的康托儿基本数列性质的的无尽小数表达式-3.390……；但类似圆周率，这个理想实数α的绝对准十进小数是永远写不到底的事物，只有在近似意义下，才可以用十进小数近似表示。还须知道，类似于笔者对欧拉常数的叙述，“根据现实应用问题的研究中，近似方法是必须的，所以可以不去追求这个理想实数是不是无理数的问题”。
最后谈谈陆教授得出的绝对准等式(2.44861811105080......)！ =π= 3.141592653......的问题。第一，类似于前述Г（α）=1/3的讨论, 寻求Г（α）=圆周率π的理想实数α的问题，也是一个涉及Gamma函数的反函数的计算计算问题，从Gamma函数的图像看出：取得Г（α）=圆周率π的α有无穷多；陆教授提出的只是其中最大的那个。第二，类似于前述Г（α）=1/3的讨论, 不需讨论2.44861811105080.....是不是无理的问题；它是个无法绝对准算到底的理想实数；第三，他提出这个阶乘(2.44861811105080.....)！应当作为：Gamma函数Г（3.44861811105080……）理解，虽然Г（3.44861811105080……）=2.44861811105080...... ×1.44861811105080..... ×Г（1.44861811105080……—），但不能无限制的阶乘下去，总得到某一个Г（α）上停止下来，由于数学手册有了区间[1，2]上的函数值，所以可以在Г（1.44861811105080……—）处停止下来，不再阶乘下去。第四，应当指出1.44861811105080......是针对误差界序列 的以十进小数为不足近似值为项的康托儿基本数列性质的无尽小数表达式；根据笔者的实数理论，在解决现实问题时，常常只能使用其能算出的有实用意义足够多位数的有尽位十进小数（上述手册只有三位小数）。第五，计算对应于π的理想实数α的过程与上述计算对应于1/3过程类，首先从函数图可以看出，它对应最大理想实数α在[3，4] 区间上，然后使用1979年数学手册中的Gamma函数表，逐步算出准确到1位2位3位的不足与过剩近似值，其中3位的近似值计算，在查出1.452〉α〉1.444上，Г（α）都等于0.8857后，算出Г（3.448）=2.448×1.448×Г（1.448）= 3.1395443328，小于π；Г（3.449）=2.449×1.449×Г（1.449）=3.1429959057，大于π，得到Г（α）=圆周率π的理想实数α在3.448与3.449之间，3.448 是其准确到三位小数的不足近似值，使用十进小数为项的康托儿基本数列意义的无尽小数表达式，这个理想实数可以写作无尽小数3.448……极限。精度再高的计算无法使用这个函数表得出。这个只写出小数点后三位数字无尽小数表达式与陆教授的小数点后具有14个数字的表达式3.44861811105080……—差得多，因此，数学手册中的函数表太粗糙了，陆教授的计算精度是高的，现代的计算技术是应当学习的，可惜我对现代计算技术一窍不通，不过我想指出：陆教授表达式3.44861811105080……也具有没有把这个理想实数算到底的意义。只有它的极限才可以被看作与π对应的理想实数α，虽然陆教授德计算能力比笔者强的多，但表达式3.44861811105080……本身不能被看作定数α。等式(2.44861811105080......)！=π=3.141592653......中两个等号都必须改写为理想性质的全能近似等号。即对任意小误差界的近似相等，绝对准的相等是不可能实现的。
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发表于 2018-7-14 09:46
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