三个正实数 a,b,c 的和为 9/2，积等于 2，证明 a,b,c 中至少有一个不大于 (1+√33)/8

天山草@

另外两问的最简证明是啥？ 期待中……

天山草@

天山草@

天山草@

(3)和(2)的证明不知道是怎样想到的？ 能不能做为一种通用的方法？
在(2)的证明中，如果事先没有给出 t 的值，这方法是不是就不灵了？

王守恩

天山草@ 发表于 2018-7-19 18:00
(3)和(2)的证明不知道是怎样想到的？ 能不能做为一种通用的方法？
在(2)的证明中，如果事先没有给出 t 的 ...

先解题
a+b+b=a+2b=9/2     (1)
a×b×b=a×b^2=2      (2)
由(1)得：a=9/2-2b     (3)
(3)代入(2)
4b^3-9b^2+4=(b-2)(4b^2-b-2)=0   (4)
解方程(4)，得相同数b有3个解，
    b=2      b=(1+√33)/8    b=(1-√33)/8(舍去)
对应a=1/2   a=(17-√33)/4
再总结
三个正实数 a, b, c 的和是 9/2，积是 2，可以有
（1）这三个数中至少有一个不大于（1+√33）/8
（2）这三个数中的任何一个都不小于 1/2
（3）这三个数中最大可以是(17-√33)/4
（4）这三个数中至少有一个不小于2；

更一般地，我们有
1，已知n个正实数的和与积，则只有在其中(n-1)个数相等时，
才会出现第n个数尽可能大，或第n个数尽可能小的情况。
2，具体地，
相等的(n-1)个数是大数(A1)，第n个数有最小值(B1)，
相等的(n-1)个数是小数(B2)，第n个数有最大值(A2)，
3，结论。
大数最小可以是(A1)，大数最大可以是(A2)，
小数最小可以是(B1)，小数最大可以是(B2)。

luyuanhong

楼上 天山草@ 和 王守恩 的帖子，我已转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。