五次多项式函数 f(x) 满足 (x-1)^3｜f(x)+1 和 (x+1)^3｜f(x)-1 ，求 f(3)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

波斯猫猫

五次多项式函数 f(x) 满足 (x-1)^3｜f(x)+1 和 (x+1)^3｜f(x)-1 ，求 f(3)
设f(x)+1=（ax^2+bx+c）(x-1)^3     （1），
f(x)-1=（ax^2+mx-c-2）(x+1)^3     （2），
由（1）有f（1）=-1，代入（2）得8（a+m-c-2）=-2，即m=c-a+7/4   （3），
由（2）有f（-1）=1，代入（1）得-8（a-b+c）=2，即b=c+a+1/4      （4），
又f(3)+1=8（9a+3b+c）=8（12a+4c+3/4），    （由（4）消去b）
f(3)-1=64（9a+3m-c-2）= 64（6a+2c+13/4），  （由（3）消去m）
所以   8（12a+4c+3/4）-1= 64（6a+2c+13/4）+1，解得3a+c=-17/8.
故f(3) =8（12a+4c+3/4）-1=-63（如果没有算错）.

luyuanhong

谢谢楼上 波斯猫猫 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。