求助：这个三元方程组有没有解？

天山草@

飘飘不愧是几何高手，给出这么多公式！厉害！

天山草@

在【数学研发论坛】上，有人给出了下述结果：
设 x, y, z 是已知的角平分线长，那么边长 a, b, c 中的 a 是方程 f(a,x,y,z)=0 的一个正实数根。f 的表达式如下：

f = 256 a^20 (x - y)^2 y^2 (x + y)^2 (x - z)^2 z^2 (x + z)^2 (x y -
      x z - y z) (x y + x z - y z) (x y - x z + y z) (x y + x z +
      y z) + 256 a^18 (x^14 y^8 - 2 x^12 y^10 + x^10 y^12 -
      9 x^12 y^8 z^2 + 11 x^10 y^10 z^2 - 6 x^8 y^12 z^2 -
      2 x^14 y^4 z^4 + 3 x^12 y^6 z^4 + 40 x^10 y^8 z^4 -
      31 x^8 y^10 z^4 + 14 x^6 y^12 z^4 + 3 x^12 y^4 z^6 -
      x^10 y^6 z^6 - 66 x^8 y^8 z^6 + 44 x^6 y^10 z^6 -
      16 x^4 y^12 z^6 + x^14 z^8 - 9 x^12 y^2 z^8 + 40 x^10 y^4 z^8 -
      66 x^8 y^6 z^8 + 72 x^6 y^8 z^8 - 31 x^4 y^10 z^8 +
      9 x^2 y^12 z^8 - 2 x^12 z^10 + 11 x^10 y^2 z^10 -
      31 x^8 y^4 z^10 + 44 x^6 y^6 z^10 - 31 x^4 y^8 z^10 +
      11 x^2 y^10 z^10 - 2 y^12 z^10 + x^10 z^12 - 6 x^8 y^2 z^12 +
      14 x^6 y^4 z^12 - 16 x^4 y^6 z^12 + 9 x^2 y^8 z^12 -
      2 y^10 z^12) -
   32 a^16 (40 x^14 y^10 - 24 x^12 y^12 + 16 x^10 y^14 +
      40 x^14 y^8 z^2 - 299 x^12 y^10 z^2 + 137 x^10 y^12 z^2 -
      72 x^8 y^14 z^2 - 80 x^14 y^6 z^4 - 320 x^12 y^8 z^4 +
      795 x^10 y^10 z^4 - 351 x^8 y^12 z^4 + 128 x^6 y^14 z^4 -
      80 x^14 y^4 z^6 + 166 x^12 y^6 z^6 + 971 x^10 y^8 z^6 -
      1097 x^8 y^10 z^6 + 390 x^6 y^12 z^6 - 112 x^4 y^14 z^6 +
      40 x^14 y^2 z^8 - 320 x^12 y^4 z^8 + 971 x^10 y^6 z^8 -
      1155 x^8 y^8 z^8 + 762 x^6 y^10 z^8 - 178 x^4 y^12 z^8 +
      48 x^2 y^14 z^8 + 40 x^14 z^10 - 299 x^12 y^2 z^10 +
      795 x^10 y^4 z^10 - 1097 x^8 y^6 z^10 + 762 x^6 y^8 z^10 -
      274 x^4 y^10 z^10 + 49 x^2 y^12 z^10 - 8 y^14 z^10 -
      24 x^12 z^12 + 137 x^10 y^2 z^12 - 351 x^8 y^4 z^12 +
      390 x^6 y^6 z^12 - 178 x^4 y^8 z^12 + 49 x^2 y^10 z^12 -
      23 y^12 z^12 + 16 x^10 z^14 - 72 x^8 y^2 z^14 +
      128 x^6 y^4 z^14 - 112 x^4 y^6 z^14 + 48 x^2 y^8 z^14 -
      8 y^10 z^14) +
   16 a^14 (118 x^14 y^12 - 2 x^12 y^14 + 16 x^10 y^16 +
      428 x^14 y^10 z^2 - 807 x^12 y^12 z^2 + 172 x^10 y^14 z^2 -
      64 x^8 y^16 z^2 - 118 x^14 y^8 z^4 - 2001 x^12 y^10 z^4 +
      1542 x^10 y^12 z^4 - 398 x^8 y^14 z^4 + 96 x^6 y^16 z^4 -
      856 x^14 y^6 z^6 - 1022 x^12 y^8 z^6 + 3120 x^10 y^10 z^6 -
      1772 x^8 y^12 z^6 + 280 x^6 y^14 z^6 - 64 x^4 y^16 z^6 -
      118 x^14 y^4 z^8 - 1022 x^12 y^6 z^8 + 3533 x^10 y^8 z^8 -
      2347 x^8 y^10 z^8 + 817 x^6 y^12 z^8 - 62 x^4 y^14 z^8 +
      16 x^2 y^16 z^8 + 428 x^14 y^2 z^10 - 2001 x^12 y^4 z^10 +
      3120 x^10 y^6 z^10 - 2347 x^8 y^8 z^10 + 1040 x^6 y^10 z^10 -
      365 x^4 y^12 z^10 + 28 x^2 y^14 z^10 + 118 x^14 z^12 -
      807 x^12 y^2 z^12 + 1542 x^10 y^4 z^12 - 1772 x^8 y^6 z^12 +
      817 x^6 y^8 z^12 - 365 x^4 y^10 z^12 - 87 x^2 y^12 z^12 -
      18 y^14 z^12 - 2 x^12 z^14 + 172 x^10 y^2 z^14 -
      398 x^8 y^4 z^14 + 280 x^6 y^6 z^14 - 62 x^4 y^8 z^14 +
      28 x^2 y^10 z^14 - 18 y^12 z^14 + 16 x^10 z^16 -
      64 x^8 y^2 z^16 + 96 x^6 y^4 z^16 - 64 x^4 y^6 z^16 +
      16 x^2 y^8 z^16) -
   a^12 (720 x^14 y^14 + 288 x^12 y^16 + 10608 x^14 y^12 z^2 -
      3217 x^12 y^14 z^2 + 288 x^10 y^16 z^2 + 11216 x^14 y^10 z^4 -
      35778 x^12 y^12 z^4 + 8666 x^10 y^14 z^4 - 576 x^8 y^16 z^4 -
      22544 x^14 y^8 z^6 - 43775 x^12 y^10 z^6 +
      18872 x^10 y^12 z^6 - 5967 x^8 y^14 z^6 - 576 x^6 y^16 z^6 -
      22544 x^14 y^6 z^8 - 37340 x^12 y^8 z^8 + 34894 x^10 y^10 z^8 -
      20854 x^8 y^12 z^8 + 2140 x^6 y^14 z^8 + 288 x^4 y^16 z^8 +
      11216 x^14 y^4 z^10 - 43775 x^12 y^6 z^10 +
      34894 x^10 y^8 z^10 - 19615 x^8 y^10 z^10 -
      3050 x^6 y^12 z^10 - 143 x^4 y^14 z^10 + 288 x^2 y^16 z^10 +
      10608 x^14 y^2 z^12 - 35778 x^12 y^4 z^12 +
      18872 x^10 y^6 z^12 - 20854 x^8 y^8 z^12 - 3050 x^6 y^10 z^12 -
      6480 x^4 y^12 z^12 - 966 x^2 y^14 z^12 + 720 x^14 z^14 -
      3217 x^12 y^2 z^14 + 8666 x^10 y^4 z^14 - 5967 x^8 y^6 z^14 +
      2140 x^6 y^8 z^14 - 143 x^4 y^10 z^14 - 966 x^2 y^12 z^14 -
      81 y^14 z^14 + 288 x^12 z^16 + 288 x^10 y^2 z^16 -
      576 x^8 y^4 z^16 - 576 x^6 y^6 z^16 + 288 x^4 y^8 z^16 +
      288 x^2 y^10 z^16) +
   a^10 x^2 (81 x^12 y^16 + 3972 x^12 y^14 z^2 + 1254 x^10 y^16 z^2 +
      22468 x^12 y^12 z^4 - 8012 x^10 y^14 z^4 + 1215 x^8 y^16 z^4 -
      3972 x^12 y^10 z^6 - 34520 x^10 y^12 z^6 + 1672 x^8 y^14 z^6 +
      84 x^6 y^16 z^6 - 45098 x^12 y^8 z^8 - 35778 x^10 y^10 z^8 -
      11013 x^8 y^12 z^8 - 2152 x^6 y^14 z^8 + 1215 x^4 y^16 z^8 -
      3972 x^12 y^6 z^10 - 35778 x^10 y^8 z^10 - 4764 x^8 y^10 z^10 -
      10400 x^6 y^12 z^10 - 860 x^4 y^14 z^10 + 1254 x^2 y^16 z^10 +
      22468 x^12 y^4 z^12 - 34520 x^10 y^6 z^12 -
      11013 x^8 y^8 z^12 - 10400 x^6 y^10 z^12 -
      12772 x^4 y^12 z^12 - 1868 x^2 y^14 z^12 + 81 y^16 z^12 +
      3972 x^12 y^2 z^14 - 8012 x^10 y^4 z^14 + 1672 x^8 y^6 z^14 -
      2152 x^6 y^8 z^14 - 860 x^4 y^10 z^14 - 1868 x^2 y^12 z^14 -
      432 y^14 z^14 + 81 x^12 z^16 + 1254 x^10 y^2 z^16 +
      1215 x^8 y^4 z^16 + 84 x^6 y^6 z^16 + 1215 x^4 y^8 z^16 +
      1254 x^2 y^10 z^16 + 81 y^12 z^16) -
   a^8 x^4 y^2 z^2 (432 x^10 y^14 + 8336 x^10 y^12 z^2 +
      2672 x^8 y^14 z^2 + 19760 x^10 y^10 z^4 - 4049 x^8 y^12 z^4 +
      3808 x^6 y^14 z^4 - 28528 x^10 y^8 z^6 - 11252 x^8 y^10 z^6 -
      3748 x^6 y^12 z^6 + 3808 x^4 y^14 z^6 - 28528 x^10 y^6 z^8 -
      4966 x^8 y^8 z^8 - 17532 x^6 y^10 z^8 + 442 x^4 y^12 z^8 +
      2672 x^2 y^14 z^8 + 19760 x^10 y^4 z^10 - 11252 x^8 y^6 z^10 -
      17532 x^6 y^8 z^10 - 9980 x^4 y^10 z^10 - 2740 x^2 y^12 z^10 +
      432 y^14 z^10 + 8336 x^10 y^2 z^12 - 4049 x^8 y^4 z^12 -
      3748 x^6 y^6 z^12 + 442 x^4 y^8 z^12 - 2740 x^2 y^10 z^12 -
      945 y^12 z^12 + 432 x^10 z^14 + 2672 x^8 y^2 z^14 +
      3808 x^6 y^4 z^14 + 3808 x^4 y^6 z^14 + 2672 x^2 y^8 z^14 +
      432 y^10 z^14) +
   16 a^6 x^6 y^4 z^4 (54 x^8 y^12 + 492 x^8 y^10 z^2 +
      216 x^6 y^12 z^2 + 202 x^8 y^8 z^4 + 121 x^6 y^10 z^4 +
      324 x^4 y^12 z^4 - 1496 x^8 y^6 z^6 + 235 x^6 y^8 z^6 +
      3 x^4 y^10 z^6 + 216 x^2 y^12 z^6 + 202 x^8 y^4 z^8 +
      235 x^6 y^6 z^8 - 368 x^4 y^8 z^8 - 149 x^2 y^10 z^8 +
      54 y^12 z^8 + 492 x^8 y^2 z^10 + 121 x^6 y^4 z^10 +
      3 x^4 y^6 z^10 - 149 x^2 y^8 z^10 - 75 y^10 z^10 +
      54 x^8 z^12 + 216 x^6 y^2 z^12 + 324 x^4 y^4 z^12 +
      216 x^2 y^6 z^12 + 54 y^8 z^12) -
   32 a^4 x^8 y^6 z^6 (24 x^6 y^10 + 88 x^6 y^8 z^2 +
      72 x^4 y^10 z^2 - 112 x^6 y^6 z^4 + 29 x^4 y^8 z^4 +
      72 x^2 y^10 z^4 - 112 x^6 y^4 z^6 + 10 x^4 y^6 z^6 -
      46 x^2 y^8 z^6 + 24 y^10 z^6 + 88 x^6 y^2 z^8 +
      29 x^4 y^4 z^8 - 46 x^2 y^6 z^8 - 35 y^8 z^8 + 24 x^6 z^10 +
      72 x^4 y^2 z^10 + 72 x^2 y^4 z^10 + 24 y^6 z^10) +
   256 a^2 x^10 y^8 z^8 (x^2 y^2 + x^2 z^2 + y^2 z^2) (x^2 y^6 -
      x^2 y^4 z^2 + y^6 z^2 - x^2 y^2 z^4 - 3 y^4 z^4 + x^2 z^6 +
      y^2 z^6) + 256 x^12 y^14 z^14;

     从上面这方程求解 a 的表达式（还需要加上一些条件），即使能解出来，结果也必定是极其复杂的和不优美的！况且，次数大于等于 5 次的一般代数方程是没有根式解的。上面这个 20 次方程估计也不会有。

天山草@

把飘飘汇集的公式全拿来， 机枪大炮坦克飞机一起上，化简到最后，仍回到了原点。

天山草@

其实，已知角平分线长 x, y, z, 使用下述方程组完全能够算出边长 a, b, c 的数值解，当然算 r, s, t, u, v, w 也不在话下。

红树

命题不成立，错误

红树

已知三角形的三个角平分线长，这个三角形不能唯一确定，命题错误

红树

已知等腰三角形的三个角平分线长，可唯一确定这个三角形，注意:等腰三角形

天山草@

三角形 A、B、C  角的平分线长分别长 ta = 4759; tb = 6928; tc = 5188;
那么可以唯一地确定该三角形的各边长度为：
a = 7629.144007573153; b = 5142.94785025075; c = 7157.149514076713。

能找出一个反例吗？ 就是边长不完全是上面这些值？

天山草@

总之，目前人类还远不是上帝的好学生。
主帖中的三元方程组，看起来很简单，实际上目前搞不出解析公式。尽管解析公式是客观存在的（解析式不一定全是由根式组成的！），如果求数值解，那是小菜一碟！
这就像太阳系中的木星，它是客观存在的，但是我们人类目前没有能力登陆上去游玩。