在 ABCD 中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=2，E 在 CD 上，求 AE×BE 的最小值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

波斯猫猫

在 ABCD 中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=2，E 在 CD 上，求 AE×BE 的最小值 。
提示：由条件易知，ABCD四点共圆，且BC=DC=2√3，∠BCD=60°.
设AE=x，BE=y，DE=a（0＜a＜2√3），则由勾股定理与余弦定理有
X＾2=a＾2+4，y＾2= a＾2-2√3a+12.
∴X＾2y＾2= f（a）=（a＾2+4）（a＾2-2√3a+12），
即f（a）=a＾4- 2√3a＾3+16 a＾2-8√3a+48.
∴f′（a）=4a＾3- 6√3a＾2+32 a-8√3。
令f′（a）=0，可求出f（a）的最小值，从而求出xy=√f（a）的最小值。

luyuanhong

谢谢楼上 波斯猫猫 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。