设 1/2＜m＜a ，已知 y=mx+a（1≤x≤100）不通过格子点，求 a 可能取到的最大值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

shuxuestar

交于网格点既x，y整数点. 当y=mx+a过（1，100）时 a为过100方格的最大值 （y向平移最大）

100=1m+a ;  a=100-1m<99.5;

不过格点，y向平移可以无穷大，这个题答案应该是a=+∞；

y=mx+∞;  (1≤x≤100);  a>m>1/2; m为大于0.5的任意有限实数.........

luyuanhong

题  设 1/2＜m＜a ，已知 y=mx+a（1≤x≤100）不通过格子点，求 a 可能取到的最大值。

解  取 m 为一个大于 1/2 的无理数，a 为一个大于 m 的正整数，这时必定可以保证直线

y=mx+a（1≤x≤100）不通过格子点。

    当 x 是一个正整数时，由于 m 是无理数，所以 mx 也是无理数，加上正整数 a 后仍然

是无理数，这时 y=mx+a 不可能是整数，也就是说，直线 y=mx+a 不可能通过格子点。

    因为正整数 a 只要大于 m 就可以了，其他没有任何要求，所以 a 可以尽量大，直到

趋于正无穷大，由此可见，a 可能取到的最大值是正无穷大。

shuxuestar

前面解答为了题目有意义一些看成了方格 题说的是所有的100内的网格点

过网格点的分析：充要条件x; y 为整数解过网格点;

y=mx+a：设：y=M  x=N；

得：M=mN+a ； m=（M-a）/N；

M==N[（M-a）/N]+ a;

可见: a取任何值， MN为整数或非整数， 该式都成立.

不过网格点既反集：

如：M+0.1 =N[（M+0.1-a）/N]+ a; 当x（N）取任意整数，y(M+0.1)都不是整数

可见a；m为有理数时也不一定过网格点， 应该满足以上过网格点分析的反集

可以令y=M+q ；q不为整数.

M+q =N[（M+q-a）/N]+ a;  m=（M+q-a）/N；  M；N为整数, a可为任意实数满足等式.

又据题：a>（M+q-a）/N>1/2 的集合为不过网格点集合


答题情况下a为正无穷大.........