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证明:任何一个有理数都能写成 3 个有理数的立方和

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发表于 2018-8-20 11:14 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 luyuanhong 于 2018-9-2 20:44 编辑

任何一个有理数都能写成3个有理数的立方和
 楼主| 发表于 2018-8-23 21:27 | 显示全部楼层
denglongshan 发表于 2018-8-23 20:53
对于a=-16怎么会有两个式子或许还有更多?

第一个式子2楼公式令a=-16得到,第二个式子是令a=16然后每一项都取相反数得到的。
a=-16还有一个很明显的解,0、-2、-2。
一般的回答是根据6楼3次曲面的乘法结构得到的,这个方法能得到很多组解,2楼公式只是这个方法的一个特例,但一般来说,结果应该是有限组,有点类似椭圆曲线有理点的加法结构。具体方法我还是不太明白,大致思路是6楼说的那样。

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请问a=1套您的公式最多能有几种分法?  发表于 2018-8-24 09:39
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发表于 2018-9-17 23:48 | 显示全部楼层
本帖最后由 风花飘飘 于 2018-9-17 23:58 编辑
风花飘飘 发表于 2018-8-24 11:30
近些日子身体很不好,今天才开始推导了一下,从这个看1可以分解为无穷无尽的“3个有理数立方的和”。
...

风花飘飘 发表于 2018-8-29 19:21
这几天打算把分拆方法过程写一下共享,但是会写得比较跳跃简洁,里面要用到下面的知识点,为了大家理解上的 ...


其实我感觉对所谓的无理数( 比如:7^(3/11)……等)的分拆更好玩儿一些,呵呵……

主任的【单位论】一再强调:世界上本没有“有理数”与“无理数”之说,庸人自扰之!

谁来拆分这个试试??:

7^(3/11) = x^3+y^3+z^3

王守恩老师搞到的这个公式很强大!含括了【所有数】,因为这是【恒等式!】,而且是【单参数的恒等式】:


192050a22q6hcr2p226qfh.png

【单参数的恒等式才真正漂亮!】

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我说的是【所有整数:正整数和负整数】,风花飘飘来个【所有数:范围就不一样了】,可以吗?  发表于 2018-9-18 08:20
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 楼主| 发表于 2018-8-24 11:40 | 显示全部楼层
风花飘飘 发表于 2018-8-24 11:30
近些日子身体很不好,今天才开始推导了一下,从这个看1可以分解为无穷无尽的“3个有理数立方的和”。
...

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 楼主| 发表于 2018-8-24 11:16 | 显示全部楼层
本帖最后由 malingxiao1984 于 2018-8-24 11:51 编辑

二楼公式右边三项还是有理数,还可以继续分解成3个有理数的立方和,

所以最终的结论就是:

任何一个有理数,都可以分解成2n+1(n≥1)个有理数的立方和


稍微再思考一下,就会得到更强的结论

任何一个有理数,都可以分解成n(n≥3)个有理数的立方和

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【不服来战】总是存在n^3个连续整数的立方和等于一个立方数(加注:n不是3的倍数... - 基础数学 - 数学中国 - Powered by Discuz! http://bbs.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=217497&extra=   发表于 2018-8-24 14:17
3个是最难的(2个无解),4,5,....越多越好找。  发表于 2018-8-24 13:22
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发表于 2018-8-24 11:30 | 显示全部楼层
本帖最后由 风花飘飘 于 2018-8-24 14:42 编辑
malingxiao1984 发表于 2018-8-24 11:16
二楼公式右边三项还是有理数,还可以继续分解成3个有理数的立方和,

所以最终的结论就是:


近些日子身体很不好,今天才开始推导了一下,从这个看1可以分解为无穷无尽的“3个有理数立方的和”。

等于1.png

若:
X=((a^3-9)/(9*a)),
Y=((3*a^5+27*a^2)/(a^6+9*a^3+81)),
Z=((-a^9+243*a^3+729)/(9*a^7+81*a^4+729*a))
则:
X^3+Y^3+Z^3 ≡ 1
即:
((a^3-9)/(9*a))^3+((3*a^5+27*a^2)/(a^6+9*a^3+81))^3+((-a^9+243*a^3+729)/(9*a^7+81*a^4+729*a))^3≡1
例子:
a = -2,X = 17/18,Y = 12/73,Z = 703/1314,
a = -3/2,X = 11/12,Y = 30/49,Z = 37/588


【注:……-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1; ……-1/2;1/2;2/3;3;4;5;6;7……都可找到这样的恒等式,推导方法都是一样的。最有意思的是(-16)的。等哪天舒服了我把3.14分解为3个有理数的立方和的恒等式给出来吧。

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果真厉害,原创?  发表于 2018-8-27 23:42
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发表于 2018-8-27 23:08 | 显示全部楼层
上楼老师:
      独立发现?simpley,老师虽言过其实,但这些原创发现还是不容易。
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 楼主| 发表于 2018-8-21 11:59 | 显示全部楼层
malingxiao1984 发表于 2018-8-20 22:06
1/3=(-26/27)^3+(21869/20439)^3+(84/757)^3

就是我在2楼发的那个恒等式,我是搬运,不是我发现的
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发表于 2018-8-20 11:24 | 显示全部楼层
非常好! 赞一个!!!
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 楼主| 发表于 2018-8-20 11:14 | 显示全部楼层
本帖最后由 malingxiao1984 于 2018-8-24 11:51 编辑

任何一个有理数都能写成3个有理数的立方和.PNG

右边三项还是有理数,还可以继续分解成3个有理数的立方和,

所以最终的结论就是:

任何一个有理数,都可以分解成2n+1(n≥1)个有理数的立方和

稍微再思考一下,就会得到更强的结论

任何一个有理数,都可以分解成n(n≥3)个有理数的立方和

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a=-16有几种写法?  发表于 2018-8-21 03:04
 楼主| 发表于 2018-8-20 11:20 | 显示全部楼层
验证:

任何一个有理数都能写成3个有理数的立方和2.PNG
发表于 2018-8-20 11:27 | 显示全部楼层
直接把多项式展开死算得了,看结果等不等于a
 楼主| 发表于 2018-8-20 11:31 | 显示全部楼层
这个定理先是Ryley 在1825年发现, Richmond 在1930年又重新证明,之后Manin 给了这类问题一个一般的回答,通过在三次曲面上的类似三次曲线的乘法结构(不是群)给了一个几何的证明。

Ryley和Richmond的暴力方法就先放一边,Manin书里介绍的思路大致如下:



1. 三维射影空间P^3 上的曲面x^3+y^3+z^3=a*w^3上有一个有理点(1, -1, 0, 0)。取P^3中另一个有理点,连接两点得到一条直线,它与曲面的交点除(1, -1, 0, 0)外,还有两个交点X, Y,这两个交点一般定义在一个二次域Q(\sqrt{d})上,而且两个点的坐标在二次域Q(\sqrt{d})上互相共轭;

2. 过X, Y分别作切平面交曲面于曲线C_X,C_Y。曲线是有理曲线,过X的曲线C_X定义在二次域Q(\sqrt{d})上,它双有理等价Q(\sqrt{d})上的射影直线。取C_X上坐标均属于Q(\sqrt{d})的点P,可以知道这个点关于Q(\sqrt{d})的共轭P'正落在C_Y上(证明留作练习);

3. 联结PP'交曲面于第三点P'',这个点的坐标是有理数。照这个方法,可以生成曲面上很多的有理点。

里面关键点的证明需要大家自己研究资料,我已经看的头大。

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这类问题一个一般的回答是什么?  发表于 2018-8-23 20:39
发表于 2018-8-20 11:37 | 显示全部楼层
malingxiao1984 发表于 2018-8-20 11:31
这个定理先是Ryley 在1825年发现, Richmond 在1930年又重新证明,之后Manin 给了这类问题一个一般的回答, ...


看起来很复杂,貌似我搞不定,elim老师继续研究,我一边围观
 楼主| 发表于 2018-8-20 11:39 | 显示全部楼层
永远 发表于 2018-8-20 11:37
看起来很复杂,貌似我搞不定,elim老师继续研究,我一边围观

我也搞不定,就是觉得定理本身很有意思,搬运以下
发表于 2018-8-20 11:44 | 显示全部楼层
malingxiao1984 发表于 2018-8-20 11:39
我也搞不定,就是觉得定理本身很有意思,搬运以下

不过这题看起来很简单,但你提供的资料背景显示这狠复杂,须花点精力和时间去做,我还是一边凉快去了
 楼主| 发表于 2018-8-20 11:46 | 显示全部楼层
永远 发表于 2018-8-20 11:27
直接把多项式展开死算得了,看结果等不等于a

我验算了1个小时……最后还是得借助wolframalpha,哈哈
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