证明：周长为 L 的四边形中，以正方形的面积最大

wilsony · 发表于 2018-8-21 22:32

本帖最后由 luyuanhong 于 2018-8-22 22:35 编辑

谁能证明？

shuxuestar · 发表于 2018-8-22 02:44

本帖最后由 shuxuestar 于 2018-8-22 06:22 编辑

先随意证了等长平行四边形中正方形面积最大

shuxuestar · 发表于 2018-8-22 06:18

本帖最后由 shuxuestar 于 2018-8-22 06:26 编辑

证得：

从红橙黄绿的次序面积变大的证法.......

(不规则四边形一条对角线端点为焦点做两个椭圆四边形面积 <左右对称四边形< 菱形< 正方形）

对非凸四边形面积小于对角线一边的三角形所以排除了在此不赘述........

shuxuestar · 发表于 2018-8-22 06:21

这种证法实际是证了四个小结论均可以应用..........

shuxuestar · 发表于 2018-8-22 13:24

本帖最后由 shuxuestar 于 2018-8-22 22:07 编辑

代数方法有人可以证嘛...............

shuxuestar · 发表于 2018-8-22 22:19

代数方法有人可以证嘛.......... 方法应该有很多

luyuanhong · 发表于 2018-8-22 22:31

wilsony · 发表于 2018-8-23 10:12

谢谢，thanks。

elim · 发表于 2018-8-24 07:31

1. 先淘汰凹多边形.
2. 相邻不等长的边用它们的算术平均代替，面积会增加。所以菱形更优。
3. 周长为常数的菱形中，对角线相等的面积最大。故边长为给定周长的
1/4的正方形是所论四边形中唯一最大的。

luyuanhong · 发表于 2018-8-24 07:38

楼上 elim 的解答很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

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证明：周长为 L 的四边形中，以正方形的面积最大

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