【求助】 初中数学题

zhang2468

求  1×2 + 2×3 + 3×4 + 4×5 + … + n（n+1） 的值。提示：用裂项法。

luyuanhong

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因为
  1×2＝1×2×3╱3 ，
  2×3＝2×3×(4－1)╱3＝(2×3×4－1×2×3)╱3 ,
  3×4＝3×4×(5－2)╱3＝(3×4×5－2×3×4)╱3 ,
  4×5＝4×5×(6－3)╱3＝(4×5×6－3×4×5)╱3 ,
  ……
  n(n+1)＝n(n+1)[(n+2)－(n-1)]╱3＝[n(n+1)(n+2)－(n-1)n(n+1)]╱3 ,
所以
  
  1×2 ┼ 2×3 ┼ 3×4 ┼ 4×5 ┼ … ┼ n(n+1)
＝{1×2×3┼(2×3×4－1×2×3)┼(3×4×5－2×3×4)┼(4×5×6－3×4×5)┼ … ┼[n(n+1)(n+2)－(n-1)n(n+1)]}╱3
＝n(n+1)(n+2)╱3 。