解方程 √(7x-8)+(9-7x)^(1/3)=1 ，求 x 的实数解

Future_maths

047619

9/7,8/7,17/7。

shuxuestar

sqrt(7x-8)+(9-7x)^(1/3)=1 ;
(9-7x)=(1- sqrt(7x-8))^3;
(5-7*x)*sqrt(7*x-8)=-28*x+32;
343*x^3-882*x^2+735*x-200=784*x^2-1792*x+1024;

简化为三次方程：
343*x^3-1666*x^2+2527*x-1224=0;
可用有简单解的三次解法
观察题式：x1=8/7；x2=9/7 等式成立
(x-8/7)(x-9/7)(x+c)=0;
49*x^3+(49*c-119)*x^2+(72-119*c)*x+72*c=0;
49/72*c=-343/1224; c=-17/7;

三个实数解为：x1=8/7;x2=9/7;x3=17/7;

luyuanhong

malingxiao1984

malingxiao1984

但是，问题来了，将原方程输入Wolframalpha，得到的解只有9/7、8/7


所以又回到之前激烈争论过的问题上来，关于负数开方，现在最权威的数学软件都认为主值不应该取辐角为π，而应该取实轴正方向绕原点逆时针旋转第一个重合那个角。
所以这个题可能又要引起争论。

Future_maths

做的不错。

luyuanhong

楼上 malingxiao1984 的解答很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

一个负数开 3 次方，在复数范围内有 3 个方根，幅角分别为 π ，π/3 和 -π/3 。

但本题只需要在实数范围内求解，所以只要考虑幅角为 π 的方根就可以了。

shuxuestar

malingxiao1984 发表于 2018-9-11 19:29
但是，问题来了，将原方程输入Wolframalpha，得到的解只有9/7、8/7

好像数学软件对的  因为一般取第一个根（ 这个开方有三个根 ）

shuxuestar

我们算的也是对的  因为你问实数解嘛？ 所有的实数解有三个确定无疑！