设 x∈N ，E(x) 为 x 的各位数字之和，求 9[lgx]-E(x) 的最小值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

题  设 x∈N ，E(x) 为 x 的各位数字之和，求 9[lgx]-E(x) 的最小值。

解  当 x 是一个 n 位正整数时，总是有 n-1≤lgx＜n ，[lgx]=n-1 。

    要使得 9[lgx]-E(x) 尽量小，就要使得 E(x) 尽量大，即各位数字之和尽量大。

    各位数字之和最大的 n 位正整数是 x=999…9（n 个 9），有 E(999…9)=9n 。

    所以，当 x 是一个 n 位正整数时，9[lgx]-E(x) 的最小值为

        9[lgx]-E(x) = 9[lg999…9]-E(999…9) = 9(n-1)-9n = -9 。

    上述最小值与 n 无关，可见不管 x 是几位数，9[lgx]-E(x) 的最小值总是 -9 。