数列满足 a(0)=b(0)=1，a(n)=a(n-1)+b(n-1)，b(n)=-a(n-1)+b(n-1)，求 a(2008)b(2008)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

malingxiao1984

设C(n)=a(n)b(n)，
a(n)=a(n-1)+b(n-1)=[a(n-2)+b(n-2)]+[-a(n-2)+b(n-2)]=2b(n-2),
b(n)=b(n-1)-a(n-1)=[-a(n-2)+b(n-2)]-[a(n-2)+b(n-2)]=-2a(n-2),
所以C(n)=a(n)b(n)=-4a(n-2)b(n-2)=-4C(n-2)
C(0)=1，C(1)=0
所以当n=2k+1时（k为正整数），C(2k+1)=[(-4)^k]C(1)=0
当n=2k时（k为正整数），C(2k)=[(-4)^k]C(0)=(-4)^k
C(2008)=(-4)^1004=2^2008

luyuanhong

谢谢楼上 malingxiao1984 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

下面是我的解答：