转型法（邻角链法）证明四色猜测

雷明85639720

转型法（邻角链法）证明四色猜测
雷  明
（二○一八年九月二十五日）
（注：图发不上来，靖到《中国博士网》中去看）

    我们已经把H—构形分为三种类型了，且各类有各类的独特的4—着色办法。其中有一类构形的特点是：图中既不含有经过5—轮的1B，2A和3B三个轮沿顶点的环形的A—B链，又不含有经过5—轮的4D和5C两个轮沿顶点的环形的C—D链。在昨天的博文《四色猜测更一般性的证明》中，只是简单的说了一下这种构形通过连续的转型交换是一定能够解决问题的，并没有深入。现在我们就仿照敢峰先生的演绎法的思路，把每一步转型后的图，都想办法构造成H—构形，直到在平面图范围内，再不可能构成H—构形，这最后一次被转型的那个构形就是可以连续的移去两个同色的K—构形。再施行一次对角链的交换，就可以空出颜色给待着色顶点了。

我们先画一个这种类型的H—构形（如图1和图2）。这两个图中都有构成H—构形的必要条件——有两条连通且相交叉的A—C链和A—D链。图中的A—B链和C—D链虽然都经过了自已应该经过的顶点，但都不是环形的，符合我们上面说的这种构形的条件。这是两个各只有一个顶点未着上图中已用过的四种颜色之一的非具体的图——构形。这两个图只是左右分布的不同，实际上是同一类构形。下面我们就只研究图1就可以了。
先用逆时针转型法从顶点1交换B—D，得到图3，产生了从顶点3到顶点5的连通链B—C（如加粗边），图似乎仍是一个H—构形，但再从顶点4施行第二次转型交换D—A后，在得到的图4中，从顶点2到顶点4有一条连通的A—C链（如加粗边），阻碍着从顶点1到顶点3的D—B链的生成，即在平面图范围内不再可能形成H—构形了。所以说第一次转型所得到的图，就已是一个可以连续的移去两个同色Ｄ的Ｋ—构形了。这时再从顶点1交换D—B，就可以空出D来，或者从顶点3交换B—D，也可以空出B来（图就不再画了，请有心的读者自已动手画一画）。该构形是可约的。一共用了两次转型三次交换。

再用顺时针转型法从顶点3交换B—C，得到图5，也产生了从顶点1到顶点4的连通链B—D（如加粗边），图仍是一个H—构形。再从顶点5施行第二次转型交换C—A，得到图6。图6中本来是没有生成从顶点3到顶点1的连通的C—B链的，图已成了一个可约的K—构形了。但我们按敢峰先生大演绎的办法，想办法造成从顶点3到顶点1有连通的C—B链（如加粗边），使得图6成变为图７。图7似乎仍然是一个H—构形，但第三次转型再从顶点2交换A—D，在得到的图８中，从顶点4到顶点1有一条连通的D—B链（如加粗边），也阻碍着从顶点5到顶点3的A—C链的生成，即在平面图范围内不再可能形成H—构形了。所以说第二次转型所得到的图，就已是一个可以连续的移去两个同色A的Ｋ—构形了。这时再从顶点5交换A—C，就可以空出A来（当然也可以从顶点3交换C—A，空出C来）。一共用了三次转型四次交换。这与以前我们在对这一类H—构形的研究所得出的结论是相同的，交换次数不大于五次；也远小于我们已经证明了的连续转型最多交换次数不大于二十三的结论。

用图2施行两个方向的转型交换，也会得到同样的结果，这里不再叙述。
还有两类H—构形，它们的画法如图9和图10。两个图一个是含有经过5—轮的1B，2A和3B三个轮沿顶点的指定的A—B环形链，另一个是含有经过5—轮的4D和5C两个轮沿顶点的指定的C—D环形链。解决时分别交换环形链内的、指定经过5—轮的4D和5C两个轮沿顶点的相反色链C—D和指定经过5—轮的1B，2A和3B三个轮沿顶点的相反色链A—B，一定可以使原来连通且相交叉的A—C链和A—D链断开，成为不连通链，破坏了构成H—构形的必要条件，图就变成了一个K—构形，问题也会得到解决。

以上解决三类H—构形的方法，都是交换的是5—轮的轮沿顶点的相邻顶点的颜色所构成的邻角链，也都是使构形的类型发生了改变，所以这种方法也可以叫做转型法，或者叫做邻角链法。

      看来，四色问题不是不能解决的。而且解决的方法也是越来越简单了。
   
雷  明
二○一八年九月二十七日于长安

注：此文已于二○一八年九月二十七日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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