数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 42|回复: 1

无穷数列、无穷级数与二项式函数展开式

[复制链接]
发表于 2018-9-29 11:34 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 jzkyllcjl 于 2018-9-29 12:08 编辑

最基本的无穷数列是自然数数列   0,1,2,3,…11,……                  (1)
笔者称:这个数列叫做理想自然数的标准序列。
这个数列可以叫做无穷数列,但对无穷需要提出以下的辩证概念。第一,数列(1)的提出依赖于一个自然数记数法则。这个数列的通项看可以写作(n-1)或n, 依照广义极限概念,可以得到这两个通项即变数的广义极限为非正常数——无穷大+∞。因此这个数列可以叫做无穷数列,这个数列中的所有自然数作为一个整体,可以叫做理想性质的自然数集合。但需要知道他的元素个数是无有穷尽的,是永远写不到底的理想性事物。
无穷级数的定义首先需要有一个与(1)对应的无穷数列{Un}, 然后才可以提出无穷级数表达式 U1+U2+……+Un+……,根据人们无法进行无穷次加法运算的事实,需要提出这个的前n项部分和序列{Sn}的极限S为无穷级数和的定义(参看华东师大《数学分析》下册),但现行教科书中表达式U1+U2+……+Un+……=S,不恰当(因为人们无法进行无穷次加法运算)应当使用极限性表达式lim n→∞Sn=S.
泰勒级数与麦克劳林展开式都需要依赖泰勒多项式的泰勒定理, 二项式函数展开式也是如此。对于函数1/(1-x), 由于在x=0 处的 任意阶导数存在,所以依照泰勒定理,可以写出任意多项的有余项的泰勒多项式,而且对区间(-1,1)内任意x,都有余项的lim n→∞极限为0的表达式成立(参看华东师大《数学分析》下册102,103页),所以,对函数1/(1-x)的在x=0处的n次泰勒多项式的  lim n→∞的极限为1/(1-x),所以成立 极限性等式
1/(1-x)= lim n→∞(1++x+x^2+x^3+……+x^n)。现行数学教科书中并把这个极限表达式写作无穷级数表达式不恰当(因为人们无法进行无穷次加法运算) 。elim 说“数学可以进行无穷次加法运算”的话违反事实,195912 坚持无穷级数的表达式的思想是没有深入研究的思想。
发表于 2018-9-29 18:16 | 显示全部楼层
不要只是纸上谈兵?
亲自动手弄出一个无穷级数,以及该无穷级数和的数学函数结构关系式!
不要让人家总说你是光说不练的假把式?!
好吗?
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2018-11-13 12:28 , Processed in 0.131204 second(s), 16 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表