无穷级数=0的必要、充分条件(3)

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无穷级数=0的必要、充分条件
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303  邮编510631）
育人课本及科普书上的重大错误是否及时纠正，与每一个人的切身利益息息相关。
5千多年数学一直认为无穷多个数相加是不能完成的。其实这是极片面的认识。例如若无穷数集R的各非0元x都有相反数-x∈R，则因其x与-x一样多，故其所有元的代数和=0。所有非0整数的和Ｈ=1-1＋2-2＋3-3＋…＝０，不能因为Ｈ的部分和的极限不存在就断定Ｈ的所有项的和不存在。同样，…。书上说Ｈ=（1-1）＋（2-2）＋…＝０+0+…有前n项和的极限0.这是混淆了两个根本不同的级数，因为事先已规定H的各项的数值分别是n=1,2,3,…与-n而非都是0。可见不能凭无穷级数的前n项和的极限不存在就断定其所有项的和不存在。
不能见到形如y=1-1+1-1+...及x=-1+1-1+1-…的和式就断定其=0，因为y也=1+（-1+1-1+1-...）和x也= -1+（1-1+1-1+...）
，而应当在证明y中的1与-1一样多时才能断定y=0，…。在判断是否“一样多”时须注意：级数的各项都不相同。例如首项的数值=1=第二项的数值，但两项的位置不相同表明其是根本不同的2个项。非常显然的客观事实C：若级数的每一正（负）数项都只有一个它的相反数项同在和式中与之对应（此项与彼项对应就不可与别的项对应了），则和式必=0。
另一方面若确定了“一样多”之后还否认y=0，也是错误的，因为在“一样多”的情况下y=0，是符合事实C的小学生都一说就明的最起码常识啊！y是否=0完全取决于是否“一样多”而与任何别的因素没有任何关系。不能因为某极限不存在就断定ｙ的所有项的和不存在。凡是违反真正常识的定义、理论都必然是不合实际的定义、理论。“一切从实际出发，而不是从定义、理论出发。”才是正确的思想方法。不能凭“本本”上的某定义以及某极限不存在而否定客观事实C，恰恰相反，应当…。因为“本本”上有历史局限性的错误是难免的。迷信“本本”=扼杀智慧。
y=（1-1）+（1-1）+…=0的各项可两个一组地分为一组组，没有一个项在组之外。非常显然：在
y-1=-1+（1-1）+（1-1）+…＝－１＋（０＝ｙ）
中有一个项在括号之外：新加进来的-1与哪个1配对？在ｙ＝０中哪有１与这个－1配对？故y-1=-1+1-1+1-...不“一样多”。
各项的数值都是1或-1的{…，1，1，-1，-1，…}的所有项的和
s=（…+1+1）+（-1-1-…）=s1+（-s1）= 0 =（1-1）+（1-1）+…
（s1=…+1+1的各1与-s1=s2 的各-1可一一对应结成数偶（1，-1）即s中的1与-1一样多）这是小学生都一说就明的最起码常识啊！由此常识得革命结论：
⑴无穷级数s1-s1=0。⑵参见[1]，在数学中若c不是数而是无意义的符号，就不可有c-c=0——据此最起码科学常识，s中的s1是无穷大自然数或超自然数。⑶无穷级数s的部分和的极限与其所有项的和是两个根本不同的概念。⑷“无穷多个数相加是不能完成的”是错误认识。
对极限论最关键的要弄清楚“任意给定的正数M”中的M是在哪一范围内任意给定？是在（1，1000）内还是在所有正
数内任意给定？其实是在所有有穷正数内任意给定！“|cn|可以变得超越任何有限数（对随便什么M＞0,它都能变得比M大），…{cn}的极限是∞[2]。”这“超越任何有限数”的| cn|＞M所取各正数| cn|＞任何有限数M显然是只能与分形几何中的相应闭折线的无穷长周长相对应的无穷大正数。故标准数学内暗含有“更无理”数x>M。
①y=2x+x-x=2x+0>0中的x可→∞即x变至后来所取各正数x是无穷大正数均>任何有限数M。②在无穷集K中减去全部元素就得只有0个元素的F=K-K，而在K＝G∪H中只减去无穷集G的全部元素得非空且与G不交的H=（G∪H）-G至少有一个元。③分形几何中的相应闭折线的无穷长周长3c-3c=0。④s=（1-1）+（1-1）+… =0的唯一原因是和式中的1与-1一样多。因为s的各项任意改变位置对“一样多”没有任何改变，所以
s=（1+1+1+…）+（-1-1-1-…）=0=s1+s2=s1-s1
其中s1的各1与s2=-s1= -（1+1+1+…）的各1可一一对应结成数偶（1，1）。
这4个例子说明“本身-本身=0”是不分“有穷”与“无穷”而皆成立的最起码常识。
形成鲜明对比的是在s中加1或（-1）就打破了1与-1一一对应的格局，从而使s±1=0±1=±1而≠0！这是小学生都一说就明的最起码常识啊！然而是什么原因使课本及科普书上有常识性错误：断定s-1=0（应=-1）。关键是s= 1+[（-1+1）+（-1+1）+…]=1+（s-1）中的
s-1= -1+（1-1）+（1-1）+…= -1+1-1+1-…= -1+（1-1+1-1+...）= -1+0
说明断定s-1中的1与-1一样多，是直观上的错觉。
症结是误以为s1+1=1+（1+1+1+…）=s1=1+1+1+…（百年集论断定两级数的项一样多）、-s1=s2=s2-1；…。从而推出极荒唐的：s1+1+s2=s1+s2=s=s+1=0；…。
显然有h定理：各项≠0的 w =项1+项2+项3+… =0的必要条件是和式中的奇数r=1，3，…与偶数r+1一样多即各r与各r+1可一一对应结成数偶（r，r+1）——这样才能保证和式中的奇数r都有同在和式中的后继r+1以及和式中的偶数r+1都有同在和式中的左邻r；充分条件是：项r + 项r+1必=0。显然若和式w不满足必要条件即式中奇、偶数不一样多，就不能有：和式的所有奇数r的后继r+1也都还在和式中，换言之，必至少有一奇数r的后继r+1不能也还在和式中。文献[2]证明了若形如{1，2，3，…，n，…}的集Q的各元n<n+1则Q必有最大元。
参考文献
[1]黄小宁  50字纠正五千年重大错误：任何自然数n<自然数n+1——续50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息（学术版），2008（21）：46。
[2] 周伯壎  数列与极限[M]，江苏人民出版社，1978.12：27。
[3]黄小宁　“最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康，见：中华素质教育理论与实践新探（4）[C]，北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.
E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）   电：

hxl268

无穷级数=0的必要、充分条件
黄小宁
（通讯：广州市华南师大南区9-303  邮编510631）
育人课本及科普书上的重大错误是否及时纠正，与每一个人的切身利益息息相关。
5千多年数学一直认为无穷多个数相加是不能完成的。其实这是极片面认识。例如所有非0整数的和H=1-1＋2-2＋3-3＋…＝-H=0，尽管其前n部分和的极限不存在。H=（1-1）＋（2-2）＋…＝0+0+…，但其各项的数值都是非0整数而非都是0。研究各项都是0的级数是没有意义的。可见级数发散≠其所有项的和不存在。同样，发散级数c+H=c+0≠0表示一个数c。
稍有一点逻辑推理能力的人都能明白极显然的客观事实C：若级数的每一项都只有一个它的相反数项同在和式中与之对应（此项与彼项对应就不可与别的项对应了），则和式不论是否发散、不论如何改变运算次序都必=0。
各项的数值都是1或-1的发散级数s=（1-1）+（1-1）+… =0（注！s=0+0+0+…=0≠其各项都只能=0）的唯一原因是和式中的1与-1一样多。s是否=0完全取决于是否“一样多”而与某极限是否存在没有任何关系，而去掉式中的括号对“一样多”没有任何影响，故s=1-1+1-1+...=0。形成鲜明对比的是在等号两边加1或（-1）就打破了1与-1一一对应的格局，从而使s±1=0±1=±1而≠0！这是小学生都一说就明的最起码常识啊！s=（1-1）+（1-1）+…=0的每两项用括号括起来，就没有一项在括号之外了，即s可表为一双双项的和。非常显然：给s增添一项得
s-1=-1+（1-1）+（1-1）+…＝－1+（0＝s）= -1+1-1+1-1+...
中总有一个项在括号之外：新增的-1与哪个1配对？故s=1+（s-1）中的s-1不“一样多”而≠（-1+1）+（-1+1）+...。由此得一系列革命发现：
百年集论及之前的数学断定“在S的所有-1组成的-F=-1-1-1-…中添加n个-1得:-1-1-1-…的项与-F的项一样多”是重大错误! 这使课本及科普书上有常识性错误：断定s-1中的1与-1一样多而=0（应=-1）,当S中的1都换为1010时就得出极荒唐的：s-1010=0。各级数都是一个个项构成的，但“各级数都是一双双项构成的”就是重大错误了；将能是一双双项构成的级数（数列）称为h型级数（数列），其所有奇数项都必有右邻项与之配对，而非h型级数中必有一奇数项无右邻项与之配对。文献[1]证明了若形如{1，2，…，n，…}的集Q的各元n<n+1则Q必有最大元。显然若两级数的项一样多，则其必同型。显然对某型级数抽去或添加：奇数个项或非h型级数，得到的级数就是非某型的了。级数的类型的变化说明其项的多少发生了变化。所以由无穷多双项组成的{（1，2），（3，4），…，（n，n+1），…｝与由无穷多个项组成的｛n｝不一定是同一数列；若此{1，2，…，n，…}与彼{1，2，…，n，…}不同型则其必非同一数列。可见在级数w=项1+项2+项3+…（所有编号数组成X）的首项左边增添一项得包含w的不同型级数=项1+（项2+项3+项4+…=w）（所有编号数组成S）的项与w的项不一样多。故在两不同型的
S=｛1，2，3，…，n，n+1，…｝（代表S内数的y=n+1>n=1,2，3，…中的数列的所有数组成X）
X=｛1，2，3，…，n，…｝（各元n都变换为其斜上方的对应数n+1∈S，X就变换为S的一部分）
中，S的元与X的元不一样多，故说S=X，是直观上的错觉。对此，第4节有更有说服力的论证。不等式也石破天惊地明确表示有S内数y>X的所有数n。似是而非的假象使康脱脱离健康误入百年歧途.
h定理1：w=项1+项2+…+项n+…的所有编号数n组成X={1，2，…，n，…}，若w的各项均由项n改称为项n+1则所有编号数n+1组成的P={2，3，…，n+1，…}中必至少有一元n+1>X的所有数n即P并非X的真子集。
证：“没有最大负数”但“对于一切（任何）负数x都有数y=x+0.1>x（可取一切负数）”显然表示y必可变
至>一切负数而代表非负数>一切负数。同样“对于X的所有元n都有代表P内数的y=n+1>n”也明确表示y必可>X的所有元n而代表非X的数。证毕。显然“…改称为项n+任何正整数k”时定理也成立。
自识无穷现象几千年来一直不明以上真相，使级数论几百年来一直有重大错误的认识：级数1-1+1-1+1-1+...。如果改变运算次序并把这些项成对组合起来，即如（1-1）+（1-1）+…；就得到一个仅以0构成的级数。但是，…。（朱梧槚等译《无穷的玩艺》125页，南京大学出版社，1985.4）症结是，在没有证明原级数中的1与-1一样多的情况下就贸然断定其可=（1-1）+（1-1）+…就会引起自相矛盾的一片混乱。另外，以其是发散级数而断定其所有项的和不存在也是百年错误。
不能见到形如y=1-1+1-1+...及x=-1+1-1+1-…的和式就断定其=0，因为y也=1+（-1+1-1+1-...）和x也= -1+（1-1+
１-1+...），而应当先证明y中的1与-1一样多后才能断定y=0，…。在判断是否“一样多”时须注意：级数的各项都不相同。即使两项的数值相同，但因其位置不相同而使其是根本不同的2个项。
s=1-1+1-1+... =0表明“一样多”。因为两对应项改变位置只是改变了它们之间的距离或前后关系而没有改变它们的“配偶”关系，故s的各项任意改变位置对“一样多”没有任何改变，所以由事实C得
①s=（1+1+1+…）+（-1-1-1-…）=0=F+（-F）（F的1与-F的-1一样多即F=1+1+1+…的各1与-F的各-1可一一对应结成数偶（1，-1））。由此得革命结论：
⑴任何无穷级数-本身=0。⑵参见[1]，在数学中若c不是数而是无意义的符号，就不可有c-c=0——据此最起码科学常识，s中的F是无穷大自然数或超自然数。⑶无穷级数s的部分和的极限与其所有项的和是两个根本不同的概念。⑷“无穷多个数相加是不能完成的”是错误认识。
对极限论最关键的要弄清楚“任意给定的正数M”中的M是在哪一范围内任意给定的数？是在（1，1000）
内还是在所有正数内任意给定？其实是在所有有穷正数内任意给定！“|cn|可以变得超越任何有限数（对随便什么M＞0,它都能变得比M大），…{cn}的极限是∞[2]。”这“超越任何有限数”的|cn|＞M所取各正数|cn|＞任何有限正数M显然是只能与分形几何中的相应闭折线的无穷长周长相对应的无穷大正数。故标准数学内暗含有“更无理”数x>M。
②y=2x+x-x=2x+0>0中的x可→∞即x变至后来所取各正数x是无穷大正数均>任何有限数M。③数学常须研究无穷集K-K=?以及K-K的无穷真子集G=?这就是研究“无穷多-无穷多”的问题。在无穷集K＝G∪H中减去全部元素就得只有0个元素的I=K-K，而只减去无穷集G的全部元素得非空且与G不交的H=（G∪H）-G至少有一个元。④分形几何中的相应闭折线的无穷长周长3c-3c=0。
①②③④说明“本身-本身=0”是不分“有穷”与“无穷”而皆成立的最起码常识。
显然有h定理2：各项≠0的 w =项1+项2+项3+… =0的必要条件是和式中的奇数j=1，3，…与偶数j+1一样多即
各j与各j+1可一一对应结成数偶（j，j+1），即W是h型的；充分条件是：项j + 项j+1必=0。
参考文献
[1]黄小宁  50字纠正五千年重大错误：任何自然数n<自然数n+1——续50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息（学术版），2008（21）：46。
[2] 周伯壎  数列与极限[M]，江苏人民出版社，1978.12：27。
[3]黄小宁　“最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康，见：中华素质教育理论与实践新探（4）[C]，北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.
E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）   电：