非线性回归问题

yjwang05

大家好，
我最近在回归一条曲线的经验公式的时候遇到了一个技术问题，请哪位专家帮我解答一些。问题是这样的：
公式里只有一个自变量X，三个待回归参数：Y=A*X^B/(1+exp(C*X)).我现在有独立试验获得的四组数据，任何一组数据都是能做出一条形状和走向非常相似的曲线。我现在希望用上面的公式描述曲线。但是问题是：这四组数据是独立的，每组数据本身的误差方差不一样，所以一般来说是不能全放到一起回归的。如果通过加权放在一起回归，又无法确定加权系数。这种情况下我应该如何处理呢？
有什么办法可以放到一起回归，或者分组回归，再去确定参数的值？
请赐教，非常非常感谢！

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/02/12 10:27pm 第 1 次编辑]

请问，你是不是可以肯定：这四组数据是对同一个对象在完全相同的条件下测得的？
（1）如果你的回答是肯定的：这四组数据确实是对同一个对象在完全相同的条件下测得的。
那么，这四组数据对应的回归方程，应该是同样参数的同一个回归方程，这四组数据就可以放在一起对这个方程作回归。
这时，最简单的处理方法，也不用加权，只要把四组数据简单地混合在一起，作为一组数据来作回归就可以了。
如果想考虑得复杂一点，考虑到各组数据的误差方差不一样，那么可以采取加权的办法。理论上说，加权大小应该与误差大小成反比。
如果你是作最小二乘回归，那么，每个残差平方项的加权，应该与误差方差成反比，所以，可以取误差方差的倒数作为各平方项的加权。
（2）如果你的回答是否定的：这四组数据不是对同一个对象在完全相同的条件下测得的。
那么，这四组数据对应的回归方程，虽然函数形式相同，但是方程中的参数值不同，其实不是同一个回归方程。
这时，就应该把这四组数据分开，对它们分别作回归，得到四个不同的回归方程。

yjwang05

luyuanhong,
多谢你的耐心解答。四组数据是在不同条件下测量的，而且都是测量一次，所以误差方差确定不了。我的目的是得到一个方程，这个方程将适用于描述类似于那四组数据所表现出来的关系。请问我是否可以将得到的方程系数取平均值？这样做需要不要什么前提？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/02/13 08:49am 第 2 次编辑]

下面引用由yjwang05在 2009/02/13 01:06am 发表的内容：
四组数据是在不同条件下测量的，而且都是测量一次，所以误差方差确定不了。我的目的是得到一个方程，这个方程将适用于描述类似于那四组数据所表现出来的关系。请问我是否可以将得到的方程系数取平均值？这样做需要不要什么前提？

既然四组数据是在不同条件下测量的，请问：这不同的条件是什么？能不能把这个条件数量化？
假如条件能够数量化，就有办法处理了：
比如说，第一组数据是在 t=1.2 时测得的，第二组数据是在 t=2.3 时测得的，第三组数据是在 t=3.4 时测得的，第四组数据是在 t=4.5 时测得的。
这时，你就可以把 t 作为另一个自变量加入到你的回归方程中去。怎么加入？有各种办法，可以根据不同的具体情况具体处理。。
比如说，如果你发现：原来得到的四个方程中的参数大致上是 t 的线性函数，那么，你就可以把回归方程改成下列形式：
Y=(A+Dt)*X^(B+Et)/(1+exp((C+Ft)*X)) 。
然后把四组数据连同四个 t 值一起对这个方程作回归。
如果参数不是 t 的线性函数，或者你觉得这样的方程太复杂，也可以用其他的方程。

yjwang05

还好，我的参数是关于t的一条直线，可以直接平均了。
非常感谢luyuanhong的耐心解答！！

yjwang05

我忽然又有这样一个问题：即使四组数据测出的参数都随时间成基本水平的线，我是否能直接用四组数据里面的平均参数值作为待定方程的回归参数呢？
之后我希望对回归的平均参数做置信度检验，我所描述的条件是否符合t检验的前提呢（就是误差正态分布的前提）？

下面引用由luyuanhong在 2009/02/13 08:47am 发表的内容：
既然四组数据是在不同条件下测量的，请问：这不同的条件是什么？能不能把这个条件数量化？
假如条件能够数量化，就有办法处理了：
比如说，第一组数据是在 t=1.2 时测得的，第二组数据是在 t=2.3 时测得的，第三 ...